Protocole complet : La pression atmosphérique diminue avec l’altitude

Défi n° 4 de la série « Les 12 travaux d’Héraclosthène » (voir le catalogue des 12 expériences historiques AEFE) : refaire l’expérience de Pascal et Périer au puy de Dôme (1648), à l’échelle d’un continent, entre deux établissements d’altitudes très différentes.

1. Fiche d’identité

Idée-force : nous vivons au fond d’un « océan d’air » (Torricelli). La pression atmosphérique mesure le poids de la colonne d’air située au-dessus de nous : environ 10 tonnes par mètre carré au niveau de la mer. Plus on monte, moins il reste d’air au-dessus de la tête, donc la pression diminue : environ 12 hPa tous les 100 m près du niveau de la mer. Deux écoles séparées de plusieurs milliers de mètres d’altitude mesurent des pressions radicalement différentes, et cet écart permet de retrouver leur différence d’altitude.

2. Objectifs pédagogiques

• Comprendre que l’atmosphère pèse, et que la pression est le poids de la colonne d’air par unité de surface.
• Mesurer une pression avec un instrument simple (baromètre, station météo, capteur de smartphone).
• Passer d’un modèle linéaire local (12 hPa pour 100 m) à un modèle exponentiel global (loi barométrique), et comprendre pourquoi le premier échoue sur 3 000 m.
• Manipuler exponentielle et logarithme dans un contexte concret : retrouver une différence d’altitude à partir de deux pressions.
• Identifier honnêtement un facteur de confusion (la météo) et mettre en place des parades expérimentales.
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes, en heure UTC.

3. Principe scientifique

3.1 L’océan d’air

La pression atmosphérique au niveau de la mer vaut en moyenne $P_0 \approx 1013$ hPa $= 101\,325$ Pa. Comme $P = F/S$, cela correspond au poids d’une colonne d’air de masse $101\,325 / 9{,}81 \approx 10\,300$ kg par mètre carré : environ 10 tonnes sur chaque mètre carré. En montant en altitude, on laisse une partie de cet air sous soi : la pression diminue.

3.2 Près du sol : une baisse quasi linéaire

Sur une petite dénivellation, la statique des fluides donne $\Delta P = -\rho\, g\, \Delta z$. Avec $\rho \approx 1{,}2$ kg/m³ (air au niveau de la mer) et $g = 9{,}81$ m/s² :

$$\Delta P \approx -12\ \text{hPa par } 100\ \text{m} \qquad\Longleftrightarrow\qquad 1\ \text{hPa} \approx 8{,}5\ \text{m}$$

C’est la règle utilisée par les altimètres de randonnée. Attention : elle n’est valable que près du niveau de la mer et sur quelques centaines de mètres, car $\rho$ diminue lui aussi avec l’altitude.

3.3 La loi barométrique (modèle exponentiel)

L’air étant compressible, sa masse volumique est proportionnelle à la pression (gaz parfait à température $T$ supposée uniforme) : la baisse de pression est donc proportionnelle à la pression elle-même. On obtient une décroissance exponentielle :

$$\boxed{\;P(z) = P_0\, e^{-z/H}\;} \qquad\text{avec}\qquad \boxed{\;H = \dfrac{RT}{Mg}\;}$$

Application numérique avec $R = 8{,}314$ J/(mol·K), $M = 0{,}029$ kg/mol, $T \approx 288$ K et $g = 9{,}81$ m/s² :

$$H = \dfrac{8{,}314 \times 288}{0{,}029 \times 9{,}81} \approx 8{,}4 \times 10^{3}\ \text{m}$$

$H$ est l’échelle de hauteur de l’atmosphère : chaque fois qu’on monte de $H$, la pression est divisée par $e \approx 2{,}72$. Comme l’air réel se refroidit avec l’altitude (environ $6{,}5$ °C par km), la température moyenne de la colonne est plutôt proche de $276$ K, ce qui donne une valeur effective $H \approx 8\,000$ m : c’est cette valeur qu’on retiendra pour les calculs. En inversant la loi, deux pressions mesurées $P_A$ et $P_B$ donnent la différence d’altitude :

$$\boxed{\;\Delta z = z_B - z_A = H \ln\!\left(\dfrac{P_A}{P_B}\right)\;}$$

3.4 Le piège majeur : la météo

La pression au niveau de la mer n’est pas constante : elle fluctue de $\pm 20$ hPa (anticyclones, dépressions), soit l’équivalent de $\pm 170$ m d’altitude ! Trois parades :

1. Mesurer le même jour, à la même heure UTC, dans les deux écoles.
2. Relever au même moment la pression réduite au niveau de la mer publiée par une station météo locale (bulletin, METAR d’aéroport) : elle permet de corriger l’état météo de chaque site.
3. Moyenner sur plusieurs jours de mesures : les fluctuations météo se compensent, la différence d’altitude, elle, ne bouge pas.

4. Matériel (dans chaque établissement)

• 1 instrument de mesure de pression, au choix :
  • capteur barométrique de smartphone : très répandu (la plupart des téléphones récents en ont un), lu par des applications gratuites ; vérifier d’abord que le téléphone possède bien ce capteur (sinon l’application affiche la pression d’une station internet voisine, ce qui fausse tout) ;
  • baromètre anéroïde du laboratoire, ou station météo de l’établissement ;
• 1 accès GPS (smartphone) pour l’altitude et les coordonnées du point de mesure ;
• 1 horloge synchronisée sur l’UTC (heure réseau du téléphone, ou site time.is) : toutes les heures sont notées en UTC ;
• 1 thermomètre (température extérieure, utile pour la discussion sur $H$) ;
• accès internet pour relever le METAR de l’aéroport le plus proche (bulletins gratuits en ligne) ;
• feuille de relevés (§10), calculatrice ou tableur pour $\ln$ et $e^x$.

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Choisir deux écoles d’altitudes très contrastées : c’est la clé du défi. Exemple type : une école côtière (Lima, Casablanca, Dakar…) et une école d’altitude (La Paz, Quito, Mexico, Addis-Abeba, Antananarivo…).
2. Se mettre d’accord sur : une date commune, une heure UTC commune (par exemple 15 h 00 UTC), l’unité (hPa), et la durée de la série (une semaine de relevés quotidiens est idéale).
3. Chaque école vérifie son capteur avant le jour J : comparer la pression lue à celle d’une station météo ou d’un METAR voisin (après réduction à l’altitude du lieu) ; noter l’écart éventuel (offset) pour le corriger.
4. Chaque école détermine l’altitude précise de son point de mesure : GPS moyenné sur plusieurs minutes, carte topographique, et noter l’étage du bâtiment (10 m d’étages font déjà $1{,}2$ hPa, ce que le capteur voit très bien !).
5. Vérifier le réglage de l’application : afficher la pression brute (dite absolue, ou QFE), pas la pression « ramenée au niveau de la mer » (QNH), qui gommerait justement l’effet qu’on veut mesurer.
6. Le jour J, chaque équipe mesure à l’heure UTC convenue (§6), puis échange ses valeurs (mail, visioconférence) pour le calcul commun (§7).

6. Protocole de mesure

Étape 0 : mise en jambe locale (facultative mais spectaculaire). Dans l’escalier de l’établissement, relever la pression au rez-de-chaussée puis au dernier étage : pour 12 m de dénivelé, le capteur du smartphone affiche environ $1{,}4$ hPa de moins (résolution des capteurs : $\approx 0{,}1$ hPa, soit moins d’un mètre). Les élèves constatent que leur téléphone est un altimètre.

Étape 1 : relevé principal, à l’heure UTC convenue.

• Se placer au point de mesure repéré (altitude connue), à l’air libre ou fenêtre ouverte.
• Relever 5 lectures de pression espacées d’une minute, noter chaque heure UTC.
• Calculer la moyenne $P$ ; la dispersion des 5 lectures donne une idée de l’incertitude de lecture.
• Noter la température extérieure.

Étape 2 : relevé du contexte météo.

• Au même moment, relever la pression réduite au niveau de la mer donnée par la station météo ou le METAR le plus proche (elle vaut environ 1013 hPa par temps « neutre », davantage par anticyclone, moins par dépression).

Étape 3 : répéter sur plusieurs jours (recommandé).

• Refaire les étapes 1 et 2 chaque jour à la même heure UTC pendant une semaine : on moyennera au §7, et la série montre la part de la météo dans les fluctuations.

Étape 4 : échange des données.

• Chaque école transmet : $P$ moyen du jour, heure UTC, altitude GPS $z$, pression niveau mer locale, température.

7. Traitement des données

1. Chaque école dispose de sa pression moyenne et de son altitude GPS : $(P_A,\ z_A)$ et $(P_B,\ z_B)$, avec A la moins élevée.
2. Contrôle météo : comparer les deux pressions réduites au niveau de la mer (METAR). Si elles diffèrent de plus de quelques hPa, les situations météo sont différentes ; on peut corriger $P_A$ et $P_B$ de cet écart, ou s’appuyer sur la moyenne multi-jours.
3. Différence d’altitude barométrique (avec $H = 8\,000$ m) :

$$\Delta z_{\text{baro}} = H \ln\!\left(\dfrac{P_A}{P_B}\right)$$

4. Confrontation au GPS : calculer $\Delta z_{\text{GPS}} = z_B - z_A$, puis l’écart relatif entre les deux valeurs.
5. Variante linéaire (seulement si $\Delta z$ est petit, quelques centaines de mètres) : $\Delta z \approx (P_A - P_B) \times 8{,}5$ m/hPa. Sur un grand dénivelé, comparer les deux modèles est justement très instructif (voir §8).
6. Avec plusieurs écoles partenaires : tracer $\ln P$ en fonction de $z$. Les points s’alignent, la pente vaut $-1/H$ : on mesure l’échelle de hauteur de l’atmosphère (voir §8, bonus 1).

8. Exemple chiffré complet

Deux écoles mesurent le même jour à 15 h 00 UTC (situation météo neutre des deux côtés) :

Différence d’altitude barométrique (loi exponentielle, $H = 8\,000$ m) :

$$\Delta z_{\text{baro}} = 8\,000 \times \ln\!\left(\dfrac{1\,010}{650}\right) = 8\,000 \times 0{,}441 \approx \boxed{3\,530\ \text{m}}$$

Confrontation au GPS : $\Delta z_{\text{GPS}} = 3\,600 - 30 = 3\,570$ m. Écart : $44$ m, soit environ $1{,}2\ \%$. Remarquable pour des mesures de téléphone ! (Avec la valeur théorique $H = 8\,400$ m calculée à 288 K, on obtiendrait $3\,700$ m, soit $+3{,}7\ \%$ : toujours correct, et l’écart illustre le rôle de la température de la colonne d’air.)

Cohérence interne du modèle : l’école A permet d’estimer la pression au niveau de la mer, $P_0 = 1\,010 \times e^{30/8\,000} \approx 1\,014$ hPa ; le modèle prédit alors à 3 600 m : $P = 1\,014 \times e^{-3\,600/8\,000} \approx 646$ hPa, à 4 hPa de la valeur mesurée (moins de $1\ \%$).

Échec instructif de la règle linéaire : $\Delta P = 360$ hPa donnerait $360 \times 8{,}5 = 3\,060$ m, soit 510 m de trop peu ($14\ \%$ d’erreur) : sur un tel dénivelé, l’air n’a plus du tout la même masse volumique en haut et en bas, il faut l’exponentielle.

Bonus 1 : mesurer $H$ avec plusieurs écoles partenaires

Avec quatre ou cinq établissements du réseau, on trace $\ln P$ en fonction de $z$. Valeurs réalistes (même jour, 15 h 00 UTC) :

Régression linéaire : pente $\approx -1{,}24 \times 10^{-4}$ m$^{-1}$, d’où $H_{\text{exp}} = 1/(1{,}24 \times 10^{-4}) \approx 8\,100$ m, à comparer à $RT/(Mg) \approx 8\,400$ m à 288 K : la classe vient de mesurer l’épaisseur caractéristique de l’atmosphère avec des téléphones.

Bonus 2 : peser l’atmosphère (clin d’œil à Ératosthène)

La pression au sol étant le poids de l’air par unité de surface, la masse totale de l’atmosphère vaut, avec le rayon terrestre $R_T = 6\,371$ km du défi n° 12 :

$$M_{\text{atm}} = \dfrac{4\pi R_T^2\, P_0}{g} = \dfrac{4\pi \times (6{,}371 \times 10^6)^2 \times 101\,325}{9{,}81} \approx \boxed{5{,}3 \times 10^{18}\ \text{kg}}$$

soit environ cinq millions de milliards de tonnes d’air : l’« océan » de Torricelli, pesé depuis la cour de récréation.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : $1$ hPa $\approx 8{,}5$ m. Avec des capteurs lus à $\pm 1$ hPa et une météo contrôlée à quelques hPa près, on atteint $\Delta z$ à quelques dizaines de mètres près sur 3 500 m, soit une précision de l’ordre de $1$ à $2\ \%$.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Altitude GPS z : ……… m Position GPS : …………………

Contexte météo : pression réduite au niveau de la mer (station locale / METAR) à la même heure UTC : ……… hPa

Calcul commun (à deux écoles) :

• École A (la plus basse) : $P_A$ = ……… hPa, $z_A$ = ……… m ; école B : $P_B$ = ……… hPa, $z_B$ = ……… m
• $\Delta z_{\text{baro}} = 8\,000 \times \ln(P_A / P_B)$ = ……… m
• $\Delta z_{\text{GPS}} = z_B - z_A$ = ……… m
• Écart : ……… m, soit ……… $\%$ de $\Delta z_{\text{GPS}}$

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : fonction exponentielle et logarithme népérien en situation, régression linéaire sur $(\ln P,\ z)$, moyenne et incertitude, pourcentages d’écart.
• Physique : statique des fluides, gaz parfait, calcul de $H = RT/(Mg)$, altimétrie barométrique, lien avec la météorologie (à relier au défi n° 11, vitesse d’un front météo).
• SVT : vie en altitude : à La Paz, la pression d’oxygène ne vaut que $0{,}209 \times 650 \approx 136$ hPa contre 212 hPa au niveau de la mer, soit environ $64\ \%$ ; adaptation des populations andines (globules rouges, hémoglobine), mal aigu des montagnes, acclimatation des sportifs.
• Géographie : relief, étagement de la végétation et des cultures avec l’altitude, villes d’altitude (La Paz, Quito, Addis-Abeba), lecture de cartes topographiques.
• Histoire des sciences : la querelle du vide (« la nature a horreur du vide » contre Torricelli et Pascal), naissance de la démarche expérimentale moderne ; à relier au défi fondateur n° 12 (Ératosthène).

12. Repères historiques

• 1643 : Evangelista Torricelli retourne un tube de mercure sur une cuve : le mercure se stabilise vers 76 cm, surmonté d’un vide. C’est le premier baromètre. Torricelli comprend que c’est le poids de l’air qui soutient la colonne : « Nous vivons submergés au fond d’un océan d’air ».
• 1647 : Blaise Pascal publie ses Expériences nouvelles touchant le vide et imagine le test décisif : si l’air pèse, la colonne de mercure doit être plus courte en haut d’une montagne.
• 19 septembre 1648 : Florin Périer, beau-frère de Pascal, réalise l’expérience au puy de Dôme : environ 26 pouces 3,5 lignes de mercure à Clermont, 23 pouces 2 lignes au sommet, soit une chute d’environ 85 mm de mercure (environ 113 hPa) pour environ 1 000 m de dénivelé : un ordre de grandeur cohérent avec nos 12 hPa pour 100 m, légèrement réduit car le gradient diminue déjà avec l’altitude. Pascal, enthousiaste, refait la mesure sur la tour Saint-Jacques à Paris (52 m).
• 1654 : Otto von Guericke et les hémisphères de Magdebourg rendent la pression atmosphérique spectaculairement visible.
• XIXe et XXe siècles : baromètres anéroïdes, altimètres d’aviation, réseaux météorologiques mondiaux ; l’unité SI de pression reçoit le nom de pascal (Pa) en 1971.

Périer avait mobilisé des notables de Clermont comme témoins et une journée de marche ; nos élèves refont sa mesure entre deux continents, en quelques minutes, avec le baromètre qu’ils ont déjà dans la poche : le téléphone. L’« océan d’air » de Torricelli se laisse peser depuis la salle de classe.