Protocole complet : La pesanteur g varie avec la latitude

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène », défi n° 5 du catalogue : mesure de la pesanteur au pendule simple, sur les traces de Jean Richer (Cayenne, 1672).

1. Fiche d’identité

Idée-force : la pesanteur $g$ n’est pas la même partout. À cause de la rotation de la Terre (force centrifuge) et de l’aplatissement qui en résulte, $g$ vaut environ $9{,}780$ m/s² à l’équateur et $9{,}832$ m/s² aux pôles. Chaque école mesure son $g$ avec un simple pendule, et la comparaison des deux valeurs révèle la forme et la rotation de la Terre. C’est exactement ce que l’horloge de Jean Richer a trahi en 1672 : elle retardait à Cayenne.

2. Objectifs pédagogiques

• Mesurer une grandeur fondamentale, $g$, avec un dispositif à moins de dix euros.
• Manipuler une relation non linéaire ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$) : racine carrée, puissances, isolement d’une variable.
• Pratiquer une vraie démarche métrologique : répétition des mesures, moyenne, calcul d’incertitude, chiffres significatifs.
• Comprendre pourquoi $g$ dépend de la latitude : rotation terrestre, force centrifuge, aplatissement.
• Confronter un écart mesuré à un écart prédit par un modèle (formule de référence).
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes.

3. Principe scientifique

3.1 Le pendule simple

Une masse compacte suspendue à un fil de longueur $L$ oscille, pour de petites amplitudes, avec la période :

$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\;}$$

Conditions de validité : amplitude faible (moins de 10°, et moins de 5° pour viser la précision, voir §9), fil léger et inextensible, masse compacte (le pendule est alors assimilable à un point matériel). $L$ se mesure du point de suspension au centre de la masse.

La période ne dépend ni de la masse, ni (presque) de l’amplitude : seuls comptent $L$ et $g$. C’est l’isochronisme repéré par Galilée. Mesurer $T$ et $L$, c’est donc mesurer $g$.

3.2 Pourquoi g dépend de la latitude

Deux effets jouent dans le même sens et affaiblissent la pesanteur près de l’équateur :

1. La force centrifuge due à la rotation terrestre, maximale à l’équateur, nulle aux pôles ;
2. L’aplatissement de la Terre : le rayon équatorial dépasse le rayon polaire d’environ 21 km, donc à l’équateur on est plus loin du centre de la Terre.

La valeur de $g$ au niveau de la mer à la latitude $\varphi$ est bien décrite par la formule de référence (type Somigliana simplifiée) :

$$\boxed{\;g(\varphi) = 9{,}780\,33 \times \big(1 + 0{,}005\,302\,4\,\sin^2\varphi - 0{,}000\,005\,8\,\sin^2 2\varphi\big)\ \text{m/s}^2\;}$$

Correction d’altitude (à $z$ mètres au-dessus du niveau de la mer) :

$$g(\varphi, z) \approx g(\varphi) - 3{,}086\times 10^{-6}\, z \quad \text{(en m/s}^2\text{, } z \text{ en mètres)}$$

soit environ $-0{,}003$ m/s² à 1 000 m d’altitude (à peine $0{,}03\ \%$) : négligeable pour des écoles proches du niveau de la mer, indispensable pour Quito ou Addis-Abeba.

3.3 Le point crucial : un tout petit écart exige une vraie précision

De l’équateur au pôle, $g$ passe de $9{,}780$ à $9{,}832$ m/s² : un écart total d’environ $0{,}5\ \%$ (précisément $0{,}53\ \%$). Entre deux écoles réelles, l’écart sera souvent de $0{,}3$ à $0{,}4\ \%$. Pour le voir, chaque école doit donc mesurer son $g$ à mieux que $0{,}1$ ou $0{,}2\ \%$. L’outil de pilotage est la formule de propagation des incertitudes :

$$\boxed{\;\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{\Delta L}{L} + 2\,\dfrac{\Delta T}{T}\;}$$

Le facteur 2 sur la période (car $T$ intervient au carré) impose la stratégie : pendule long (2 à 3 m, pour que $\Delta L/L$ soit petit), $L$ mesurée au millimètre, et surtout chronométrage de 50 à 100 périodes d’un coup, répété plusieurs fois, avec déclenchement au passage par la verticale (là où la masse va le plus vite, l’instant est le plus net). Ordre de grandeur : entre Libreville et Oslo, l’écart de durée sur 100 oscillations d’un même pendule de 2,50 m vaut environ $0{,}6$ s ; sur une seule oscillation, 6 millièmes de seconde, invisibles au chronomètre manuel.

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 fil fin, léger et peu extensible (fil de pêche, fil à coudre solide) de 2 à 3 m.
• 1 masse compacte et dense (100 à 500 g) : boule métallique percée, gros écrou, fil à plomb. Éviter les objets légers ou volumineux (frottements de l’air).
• 1 point de suspension rigide et haut : cage d’escalier, préau, gymnase, plafond de laboratoire. La fixation ne doit ni glisser ni osciller (pince, étau, crochet).
• 1 mètre ruban de 3 m (ou télémètre laser) lu au millimètre, 1 réglet ou pied à coulisse pour le diamètre de la masse.
• 1 chronomètre au 1/100 s (smartphone) ; en option une application de mesure type accéléromètre ou une cellule photoélectrique.
• 1 fiche de relevés (§10), un tableur pour l’exploitation.

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : le protocole commun (même nombre d’oscillations chronométrées, même amplitude cible), le calendrier d’échange, et le format des résultats ($L$, $T$, $g$, incertitudes).
2. Chaque école note sa latitude $\varphi$, sa longitude et son altitude $z$ (GPS ou carte en ligne) : elles servent au calcul de la valeur prédite.
3. Contrairement aux défis solaires de la série, aucune simultanéité n’est requise : chaque équipe mesure quand elle veut, en intérieur. Seule la comparaison finale est commune (visioconférence recommandée, horaires convenus en UTC).
4. Point de vigilance partagé : bien définir $L$ (jusqu’au centre de la masse) et l’amplitude (faible) de la même façon dans les deux écoles, pour que les éventuelles erreurs systématiques se compensent dans la comparaison.
5. Échange des résultats complets (valeurs et incertitudes) puis calcul commun (§7).

6. Protocole de mesure

Étape 0 : montage.

• Suspendre le fil au point fixe, accrocher la masse. Vérifier que rien ne frotte et que la fixation est rigide.
• Mesurer la longueur du fil $L_{\text{fil}}$ (du point de suspension au sommet de la masse) au millimètre, puis le diamètre $d$ de la masse. Longueur du pendule :

$$L = L_{\text{fil}} + \dfrac{d}{2}$$

Étape 1 : lancement.

• Écarter la masse d’un petit angle : moins de 5°, soit un déplacement horizontal d’environ $L/10$ (une vingtaine de centimètres pour $L = 2{,}50$ m).
• Lâcher sans vitesse initiale, et vérifier que l’oscillation reste plane (pas de mouvement elliptique). Sinon, arrêter et relancer.

Étape 2 : chronométrage.

• Laisser passer 2 ou 3 oscillations de stabilisation.
• Déclencher le chronomètre au passage de la masse par la verticale, en annonçant « zéro » (piège classique : compter « un » au départ fait perdre une période).
• Compter $n = 100$ oscillations complètes (aller-retour) et arrêter le chronomètre au passage par la verticale dans le même sens. Noter la durée totale $t$.

Étape 3 : répétition.

• Refaire le chronométrage au moins 4 fois (en changeant d’opérateur si possible). La dispersion des valeurs donne l’incertitude $\Delta t$.

Étape 4 : calculs.

• Période : $T = t_{\text{moyen}}/n$, avec $\Delta T = \Delta t/n$ (c’est tout l’intérêt de compter 100 oscillations : l’erreur de déclenchement est divisée par 100).
• Pesanteur : $g = 4\pi^2 L / T^2$, puis incertitude par la formule du §3.3.

7. Traitement des données

1. Chaque école dispose de : $g_A \pm \Delta g_A$ et $g_B \pm \Delta g_B$.
2. Écart mesuré : $\Delta g_{\text{mesuré}} = g_B - g_A$, avec une incertitude majorée par $\Delta g_A + \Delta g_B$.
3. Écart prédit : calculer $g(\varphi_A, z_A)$ et $g(\varphi_B, z_B)$ avec la formule du §3.2 et faire la différence.
4. Verdict : les deux écarts sont-ils compatibles aux incertitudes près ? Le signe est-il le bon ($g$ plus faible pour l’école la plus proche de l’équateur) ?
5. Vérification individuelle : chaque valeur de $g$ peut aussi être comparée directement à sa prédiction locale.

8. Exemple chiffré complet

Deux établissements plausibles du réseau AEFE :

Détail de la prédiction pour Oslo : $\sin^2(59{,}9°) = 0{,}748\,5$ et $\sin^2(119{,}8°) = 0{,}753\,0$, donc

$$g = 9{,}780\,33 \times (1 + 0{,}005\,302\,4 \times 0{,}748\,5 - 0{,}000\,005\,8 \times 0{,}753\,0) = 9{,}8191\ \text{m/s}^2$$

puis correction d’altitude $-3{,}086\times10^{-6} \times 25 \approx -0{,}0001$ : $g_B^{\text{prédit}} = 9{,}8190$ m/s². Pour Libreville, $\sin^2(0{,}4°) \approx 0{,}000\,05$ : la correction est infime et $g_A^{\text{prédit}} = 9{,}7803$ m/s².

Écart prédit : $9{,}8190 - 9{,}7803 = 0{,}039$ m/s², soit $0{,}40\ \%$.

Mesures de l’école A (Libreville) : $L_A = 2{,}500 \pm 0{,}002$ m ; quatre chronométrages de 100 oscillations : 317,6 s ; 317,7 s ; 317,7 s ; 317,6 s, soit $t = 317{,}65 \pm 0{,}10$ s et $T_A = 3{,}1765 \pm 0{,}0010$ s.

$$g_A = \dfrac{4\pi^2 \times 2{,}500}{(3{,}1765)^2} = \dfrac{98{,}696}{10{,}0902} = 9{,}7814\ \text{m/s}^2$$

$$\dfrac{\Delta g_A}{g_A} = \dfrac{0{,}002}{2{,}500} + 2\times\dfrac{0{,}0010}{3{,}1765} = 0{,}000\,80 + 0{,}000\,63 = 0{,}001\,43 \;\Rightarrow\; \Delta g_A = 0{,}014\ \text{m/s}^2$$

$$\boxed{\;g_A = 9{,}781 \pm 0{,}014\ \text{m/s}^2\;}\qquad(\text{prédit : } 9{,}7803)$$

Mesures de l’école B (Oslo) : $L_B = 2{,}400 \pm 0{,}002$ m (la longueur n’a pas besoin d’être identique !) ; chronométrages : 310,7 s ; 310,6 s ; 310,7 s ; 310,6 s, soit $t = 310{,}65 \pm 0{,}10$ s et $T_B = 3{,}1065 \pm 0{,}0010$ s.

$$g_B = \dfrac{4\pi^2 \times 2{,}400}{(3{,}1065)^2} = \dfrac{94{,}748}{9{,}6503} = 9{,}8181\ \text{m/s}^2 \qquad \Delta g_B = 0{,}015\ \text{m/s}^2$$

$$\boxed{\;g_B = 9{,}818 \pm 0{,}015\ \text{m/s}^2\;}\qquad(\text{prédit : } 9{,}8190)$$

Comparaison finale :

$$\Delta g_{\text{mesuré}} = 9{,}8181 - 9{,}7814 = 0{,}037 \pm 0{,}029\ \text{m/s}^2 \qquad \Delta g_{\text{prédit}} = 0{,}039\ \text{m/s}^2$$

Écart mesuré de $0{,}38\ \%$ contre $0{,}40\ \%$ prédit : accord complet aux incertitudes près, signe correct ($g$ plus faible près de l’équateur). La rotation et l’aplatissement de la Terre sont mis en évidence avec deux fils et deux chronomètres.

Bonus : l’horloge de Richer recalculée

Une horloge à pendule battant exactement la seconde à Oslo, transportée à Libreville, aurait une période allongée de $\Delta T/T = \frac{1}{2}\,\Delta g/g \approx \frac{1}{2} \times 0{,}003\,9 \approx 0{,}002$. Sur une journée de 86 400 s, elle retarderait de :

$$86\,400 \times 0{,}001\,97 \approx 170\ \text{s} \approx 2\ \text{min}\ 50\ \text{s par jour}$$

C’est bien l’ordre de grandeur des quelque deux minutes et demie de retard quotidien constatées par Jean Richer à Cayenne par rapport à Paris en 1672. Nos élèves refont son observation, en mieux : avec des incertitudes.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : avec $L \approx 2{,}5$ m mesurée à $\pm 2$ mm et 100 périodes chronométrées à $\pm 0{,}1$ s, on atteint $\Delta g/g \approx 0{,}15\ \%$ : suffisant pour révéler un écart de $0{,}4\ \%$ entre équateur et haute latitude. Deux écoles de latitudes voisines, elles, ne verront (et c’est un résultat aussi !) aucun écart significatif.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Latitude GPS : ………… Altitude : ………… m

Pendule : $L_{\text{fil}}$ = ………… m diamètre de la masse $d$ = ………… m $L = L_{\text{fil}} + d/2$ = ………… ± ………… m amplitude ≈ ………… °

Calculs locaux :

• $T$ = ………… ± ………… s → $g = 4\pi^2 L / T^2$ = ………… m/s²
• $\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{\Delta L}{L} + 2\dfrac{\Delta T}{T}$ = ………… → $\Delta g$ = ………… m/s² → $g$ = ………… ± ………… m/s²
• $g$ prédit par la formule du §3.2 (avec correction d’altitude) = ………… m/s²

Calcul commun (à deux écoles) :

• $g_{\text{école A}}$ = ………… ± ………… m/s² $g_{\text{école B}}$ = ………… ± ………… m/s²
• Écart mesuré = ………… ± ………… m/s² Écart prédit = ………… m/s²
• L’école la plus proche de l’équateur a-t-elle bien le $g$ le plus faible ? …………

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : racine carrée et puissances, proportions et pourcentages, moyenne et dispersion, propagation des incertitudes, sinus et $\sin^2\varphi$ dans la formule de référence.
• Physique : oscillateurs, isochronisme, référentiels non galiléens et force centrifuge (Terminale), différence entre masse et poids ($P = mg$ : le poids d’un objet change avec la latitude, pas sa masse !).
• Géographie et géodésie : forme de la Terre, ellipsoïde et géoïde, cartes d’anomalies de gravité, missions satellitaires (GRACE) qui pèsent les nappes phréatiques et les calottes glaciaires.
• Histoire des sciences : Richer, Huygens, Newton et la querelle sur la figure de la Terre (voir §12).
• Technologie : chronométrage par cellule photoélectrique, par capteur de smartphone, ou par analyse vidéo ; comparaison des incertitudes selon la méthode.
• Dans la même série : le défi n° 6 (pendule de Foucault, autre effet de la rotation terrestre en $\sin\varphi$) et le défi n° 10 (aplatissement mesuré par la longueur du degré de latitude) prolongent naturellement celui-ci ; le défi n° 12 (Ératosthène) reste le grand frère fondateur.

12. Repères historiques

• 1583 environ : Galilée remarque l’isochronisme des oscillations (la légende dit : en observant un lustre de la cathédrale de Pise).
• 1656 : Christiaan Huygens invente l’horloge à pendule, qui gagne d’un coup un facteur 100 en précision ; en 1673, son Horologium Oscillatorium donne la théorie complète, dont notre formule $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.
• 1672 : Jean Richer, envoyé à Cayenne (5° N) par l’Académie royale des sciences, constate que son horloge, réglée à Paris (49° N), retarde d’environ deux minutes et demie par jour ; il doit raccourcir le pendule battant la seconde d’un peu plus d’une ligne (environ 2,8 mm). La pesanteur est donc plus faible près de l’équateur. Huygens, d’abord incrédule, y verra ensuite l’effet de la force centrifuge.
• 1687 : Newton, dans les Principia, explique l’observation de Richer : la Terre en rotation doit être aplatie aux pôles, et la pesanteur croître de l’équateur vers les pôles.
• 1735 à 1737 : les expéditions de La Condamine au Pérou et de Maupertuis en Laponie tranchent la controverse avec les Cassini : la Terre est bien aplatie, Newton avait raison (c’est le défi n° 10 de la série).
• Aujourd’hui : les gravimètres absolus mesurent $g$ à $10^{-8}$ m/s² près en suivant la chute d’un coin de cube dans le vide, et les satellites cartographient le champ de pesanteur mondial. La formule de référence utilisée ici en est l’héritière directe.

Une horloge qui retarde de deux minutes par jour : c’est tout ce qu’il a fallu à Richer pour peser la rotation de la Terre. Nos deux écoles, avec un fil, un écrou et un chronomètre, tiennent la même découverte entre leurs mains.