Protocole complet : Mesure de la différence de longitude entre deux établissements AEFE

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène » : détermination de la longitude par le décalage du midi solaire.

1. Fiche d’identité

Idée-force : la Terre tourne de 360° en 24 h, soit 15° par heure, soit 1° toutes les 4 minutes. Deux lieux de longitudes différentes ne voient donc pas le Soleil passer au plus haut (midi solaire) au même instant. En comparant l’heure UTC du midi solaire de chaque établissement, on remonte à leur écart de longitude.

2. Objectifs pédagogiques

• Comprendre le lien rotation de la Terre ↔ temps ↔ longitude.
• Mesurer précisément l’instant du midi solaire vrai avec un simple gnomon.
• Manipuler une proportionnalité (15°/h) et des conversions temps ⇄ angle.
• Découvrir le problème historique des longitudes et le rôle du chronomètre de marine.
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes.

3. Principe scientifique

3.1 Le midi solaire vrai

Le midi solaire vrai est l’instant où le Soleil passe dans le plan méridien du lieu : il est alors au plus haut dans le ciel et l’ombre d’un gnomon vertical est la plus courte. À cet instant, l’ombre pointe exactement vers le Nord géographique (hémisphère Nord) ou le Sud (hémisphère Sud).

⚠️ Le midi solaire vrai ne tombe pas à 12 h 00 de l’heure légale : il dépend de la longitude, du fuseau horaire, de l’heure d’été… et de l’équation du temps.

3.2 De l’écart de temps à l’écart de longitude

La Terre effectue un tour (360°) en 24 h :

$$360° \div 24\,\text{h} = 15°/\text{h} \qquad\Longleftrightarrow\qquad 1° = 4\ \text{minutes de temps}$$

Comme le Soleil « se lève à l’Est », un lieu situé plus à l’Est voit son midi solaire plus tôt (en temps universel). Si les deux établissements mesurent l’heure UTC de leur midi solaire, l’écart Δt donne directement :

$$\boxed{\;\Delta\lambda = 15\ (°/\text{h}) \times \Delta t\ (\text{h}) \;}\qquad\text{ou}\qquad \boxed{\;\Delta\lambda\,(°) = \dfrac{\Delta t\,(\text{min})}{4}\;}$$

L’établissement dont le midi solaire UTC est le plus précoce est le plus à l’Est.

3.3 Pourquoi c’est robuste : l’équation du temps s’annule

Le midi solaire vrai est décalé par rapport au midi solaire moyen d’une quantité appelée équation du temps (entre −14 et +16 min selon la date). Mais cette correction ne dépend que de la date, pas du lieu. Donc si les deux établissements mesurent le même jour, l’équation du temps est identique pour les deux et s’élimine dans la différence Δt.

👉 Pour l’écart de longitude entre les deux écoles, aucune table n’est nécessaire : il suffit de mesurer, le même jour, l’heure UTC du midi solaire de chacune. C’est plus simple qu’Ératosthène : les mesures n’ont même pas besoin d’être simultanées ; chaque école mesure à son propre midi local.

(Le calcul de la longitude absolue de chaque école, lui, utilise l’équation du temps : voir le bonus §8.)

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 gnomon vertical : tige rigide et droite (≈ 1 m, c’est mieux), idéalement terminée par une pointe ou une petite bille pour une ombre nette. Un crayon planté verticalement peut suffire pour une version rapide.
• 1 surface plane et horizontale : grande feuille / carton / sol dallé.
• 1 fil à plomb + 1 niveau à bulle : pour garantir gnomon vertical et plan horizontal (crucial).
• 1 mètre ruban / règle, ficelle + craie (pour tracer des cercles).
• 1 horloge synchronisée sur l’UTC : smartphone en heure réseau/GPS, ou site time.is. Toutes les heures sont notées en UTC.
• Crayons, feuille de relevé (§10).

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : une date commune (+ dates de repli météo), le protocole, la hauteur du gnomon, et le fait de tout noter en UTC.
2. Vérifier que les deux villes ont bien le Soleil assez haut à midi ce jour-là (toujours vrai de jour, hors nuit polaire).
3. Chaque école relève l’heure GPS/UTC : bannir les horloges murales non synchronisées. Attention à ne pas confondre heure légale locale (avec fuseau + heure d’été) et UTC.
4. Le jour J, chaque équipe mesure l’heure UTC de son midi solaire (§6). Les deux midis n’ont pas lieu à la même heure : c’est justement l’objet de la mesure.
5. Échange des deux valeurs (par mail / visioconférence) → calcul commun (§7).

6. Protocole de mesure du midi solaire (méthode des ombres égales)

On ne cherche pas « à l’œil » l’ombre la plus courte : autour de midi, l’ombre varie très lentement, la mesure serait imprécise. On utilise la symétrie de la trajectoire de l’ombre par rapport à midi, bien plus précise.

Étape 0 : Installation (le matin, bien avant midi).

• Poser la surface parfaitement horizontale (niveau à bulle).
• Planter le gnomon parfaitement vertical (fil à plomb). Marquer le pied O.

Étape 1 : Point du matin.

• À un moment le matin (ex. 1 h à 1 h 30 avant le midi solaire attendu), marquer la position de la pointe de l’ombre : point P₁.
• Mesurer sa distance r = OP₁ et noter l’heure UTC t₁.
• Tracer le cercle de centre O et de rayon r.

Étape 2 : Attendre le passage de l’après-midi.

• L’ombre raccourcit jusqu’au midi solaire (ombre minimale), puis rallonge.
• Quand la pointe de l’ombre repasse exactement sur le cercle (même longueur r), marquer le point P₂ et noter l’heure UTC t₂.

Étape 3 : Calcul de l’instant du midi solaire.

$$\boxed{\;t_{\text{midi solaire}} = \dfrac{t_1 + t_2}{2}\;}$$

Étape 4 : Améliorer la précision (recommandé).

• Répéter avec plusieurs cercles (plusieurs rayons) : on obtient plusieurs estimations de $t_{\text{midi}}$, dont on prend la moyenne. La dispersion donne une idée de l’incertitude.

Bonus gratuit : le méridien local. La bissectrice de l’angle P₁-O-P₂ matérialise la ligne Nord-Sud (méridien) du lieu : l’ombre du midi solaire pointe le Nord géographique (hémisphère Nord).

7. Traitement des données : l’écart de longitude

1. Chaque école a son heure UTC de midi solaire : $t_A$ et $t_B$.
2. Écart de temps : $\Delta t = |t_A - t_B|$ (le convertir en heures ou en minutes).
3. Écart de longitude :

$$\Delta\lambda = 15 \times \Delta t\,(\text{h}) \qquad\text{ou}\qquad \Delta\lambda = \dfrac{\Delta t\,(\text{min})}{4}$$

4. Sens : l’établissement au midi UTC le plus tôt est le plus à l’Est.
5. Vérification : comparer $\Delta\lambda$ à l’écart des longitudes GPS des deux villes.

8. Exemple chiffré complet

Deux lycées AEFE de latitude voisine mesurent le même jour :

Écart de temps : $$\Delta t = 11\text{h}48 - 10\text{h}32 = 1\text{ h }16\text{ min} = 76\text{ min} = 1{,}267\text{ h}$$

Écart de longitude : $$\Delta\lambda = \dfrac{76}{4} = 19{,}0° \qquad(\text{ou } 15 \times 1{,}267 = 19{,}0°)$$

➡️ Les deux établissements sont séparés de 19° de longitude, l’école « Est » (midi UTC plus précoce) étant bien la plus orientale. L’équation du temps n’est jamais intervenue.

Bonus 1 : Longitude absolue de chaque école (avec l’équation du temps)

Formule (longitude Est comptée positive, tout en heures) :

$$\lambda = 15 \times \big(12\text{ h} - E_t - t_{\text{midi, UTC}}\big)$$

où $E_t$ est l’équation du temps du jour (à lire dans une table / éphéméride ; ex. au 14 juillet, $E_t \approx -5{,}9$ min $= -0{,}098$ h).

• École Est ($t = 10{,}533$ h) : $\lambda = 15 \times (12 + 0{,}098 - 10{,}533) = \mathbf{+23{,}5°}$ (23,5° Est)
• École Ouest ($t = 11{,}800$ h) : $\lambda = 15 \times (12 + 0{,}098 - 11{,}800) = \mathbf{+4{,}5°}$ (4,5° Est)

Différence : $23{,}5 - 4{,}5 = 19{,}0°$ ✔️ (cohérent avec la méthode directe). Chaque valeur se compare ensuite au GPS.

Bonus 2 : Distance entre les deux écoles (le long du parallèle)

Avec $R = 6371$ km (rayon terrestre, clin d’œil à Ératosthène) et la latitude commune $\varphi$ :

$$d \approx R \times \Delta\lambda_{\text{(radians)}} \times \cos\varphi$$

Pour $\Delta\lambda = 19°$ à la latitude $\varphi = 40°$ : $$d \approx 6371 \times \left(19 \times \tfrac{\pi}{180}\right) \times \cos 40° \approx 6371 \times 0{,}3316 \times 0{,}766 \approx \mathbf{1620\ km}$$

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : $1° = 4$ min de temps. Pour obtenir la longitude à $\pm 0{,}25°$ près, il faut chronométrer le midi solaire à $\pm 1$ min près : parfaitement atteignable avec la méthode des ombres égales.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Latitude GPS : ………… Longitude GPS : …………

Calcul commun (à deux écoles) :

• $t_{\text{école A}}$ = ……… UTC $t_{\text{école B}}$ = ……… UTC
• $\Delta t$ = ……… min → $\Delta\lambda = \Delta t / 4$ = ……… °
• École la plus à l’Est (midi UTC le plus tôt) : …………
• Écart GPS attendu : ……… ° → écart mesuré − attendu = ……… °

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : proportionnalité, conversions temps↔angle, radians, moyenne et incertitude.
• Physique : rotation terrestre, référentiels, équation du temps, analemme.
• Géographie : longitude, méridien de Greenwich, fuseaux horaires (1884, Sandford Fleming), ligne de changement de date.
• Histoire des sciences : le problème des longitudes en mer : la latitude se mesure facilement (hauteur du Soleil), mais la longitude exige une horloge fiable transportable. Le Board of Longitude (1714) et les chronomètres de marine de John Harrison (H4, 1761) ont résolu le problème. À relier au projet #2 (latitude) de la même série.

12. Repères historiques

• Hipparque (IIᵉ s. av. J.-C.) propose déjà de comparer l’heure locale d’une éclipse en deux lieux pour en déduire la différence de longitude.
• XVIᵉ-XVIIIᵉ s. : la longitude en mer est le grand défi de la navigation ; les naufrages faute de position exacte se multiplient.
• 1714 : le Parlement britannique crée le Longitude Prize.
• 1761-1765 : John Harrison met au point le chronomètre H4, qui permet enfin de « transporter » l’heure d’un méridien de référence : exactement ce que nous simulons ici avec l’heure UTC partagée par GPS.
• 1884 : conférence de Washington, adoption du méridien de Greenwich et des fuseaux horaires.

Aujourd’hui, le GPS nous « offre » gratuitement l’heure de référence que Harrison a mis une vie à embarquer : nos élèves refont, en une demi-journée et avec un simple bâton, la mesure qui a coûté des siècles d’efforts.