Protocole complet : La latitude par la hauteur du Soleil à midi

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène » : défi n° 2 du catalogue des 12 expériences historiques AEFE (voir experiences_historiques_AEFE.md), détermination de la latitude par la hauteur du Soleil au midi solaire vrai.

1. Fiche d’identité

Idée-force : au midi solaire vrai, la hauteur du Soleil au-dessus de l’horizon ne dépend que de deux choses : la latitude du lieu et la date (via la déclinaison du Soleil). En mesurant l’ombre d’un simple gnomon à cet instant, puis en lisant la déclinaison dans une éphéméride, chaque école calcule sa propre latitude, la compare au GPS, puis confronte son résultat à celui de l’école partenaire : même méthode, mais Soleil au sud du zénith pour l’une et au nord pour l’autre si elles sont dans des hémisphères opposés.

2. Objectifs pédagogiques

• Comprendre le lien hauteur du Soleil ↔ latitude ↔ saison (déclinaison solaire).
• Mesurer un angle sans rapporteur ni visée, par une simple ombre et la tangente.
• Utiliser la trigonométrie (tangente, arctangente) sur une situation réelle.
• Lire et exploiter une éphéméride (déclinaison du Soleil, signe selon la saison).
• Découvrir la navigation astronomique : le « point de midi » des marins.
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes, et croiser les cas hémisphère Nord / hémisphère Sud, une richesse propre au réseau AEFE.

3. Principe scientifique

3.1 Hauteur et distance zénithale

La hauteur $h$ du Soleil est l’angle entre l’horizon et la direction du Soleil ; la distance zénithale $z$ est l’angle entre la verticale (le zénith) et cette même direction. Les deux sont complémentaires : $h + z = 90°$.

Au midi solaire vrai (voir défi n° 1), le Soleil culmine : $h$ est maximale, l’ombre du gnomon est la plus courte de la journée et elle est alignée sur le méridien (ligne Nord-Sud) du lieu.

3.2 Mesurer $z$ sans regarder le Soleil

Un gnomon vertical de hauteur $H$ projette à midi une ombre de longueur $L$. La géométrie du triangle rectangle donne directement :

$$\boxed{\;\tan z = \dfrac{L}{H}\;}\qquad\text{puis}\qquad z = \arctan\!\left(\dfrac{L}{H}\right)\quad\text{et}\quad h = 90° - z$$

C’est exactement la mesure d’angle d’Ératosthène (défi n° 12 du catalogue) : on ne vise jamais le Soleil, on ne mesure que son ombre.

3.3 De la hauteur à la latitude

À chaque instant, le Soleil est au zénith d’un point de la Terre dont la latitude est la déclinaison solaire $\delta$. Pour un observateur de latitude $\varphi$, au midi solaire, la distance zénithale vaut $z = |\varphi - \delta|$. Il suffit donc de savoir de quel côté tombe l’ombre à midi : vers le Nord, le Soleil est au sud du zénith (cas usuel de l’hémisphère Nord) ; vers le Sud, il est au nord du zénith (cas usuel de l’hémisphère Sud). D’où les deux formes, avec $z = 90° - h$ :

$$\boxed{\;\varphi = \delta + z\;}\ \text{(ombre au Nord)} \qquad\qquad \boxed{\;\varphi = \delta - z\;}\ \text{(ombre au Sud)}$$

Convention de signes : $\varphi$ et $\delta$ sont comptées positives au nord de l’équateur et négatives au sud. Un résultat $\varphi = -34{,}7°$ se lit donc « latitude $34{,}7°$ Sud ».

3.4 La déclinaison $\delta$ et son signe

$\delta$ varie au fil de l’année entre $-23{,}4°$ (solstice de décembre) et $+23{,}4°$ (solstice de juin), en s’annulant aux équinoxes (vers le 20 mars et le 22 septembre). Elle est positive de l’équinoxe de mars à celui de septembre (Soleil au nord de l’équateur), négative le reste de l’année. On la lit pour le jour de la mesure dans une éphéméride (IMCCE, annuaire astronomique, logiciel type Stellarium) : c’est la seule donnée extérieure du défi.

Cas simple pour débuter : aux équinoxes, $\delta \approx 0$ et la latitude se lit directement sur l’ombre : $\varphi \approx z$ (affectée du signe donné par la direction de l’ombre). Une première campagne autour du 20 mars ou du 22 septembre est donc idéale.

3.5 Le cas des tropiques (important pour le réseau AEFE)

Entre les tropiques ($|\varphi| < 23{,}4°$), le Soleil passe au zénith deux jours par an : ce jour-là, $z = 0$ et le gnomon n’a plus d’ombre à midi, une observation spectaculaire à ne pas manquer. De part et d’autre de ces dates, l’ombre de midi change de côté. Les deux formules du §3.3 couvrent tous les cas, à une condition : toujours noter la direction (Nord ou Sud) de l’ombre à midi.

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 gnomon vertical : tige rigide et droite (1 m ou plus, c’est mieux), idéalement terminée par une pointe ou une petite bille (nodus) pour une ombre nette.
• 1 surface plane et horizontale : grande feuille, carton ou sol dallé.
• 1 fil à plomb + 1 niveau à bulle : gnomon vertical, plan horizontal (crucial).
• 1 mètre ruban ou règle (lecture au millimètre), ficelle + craie (cercles du défi n° 1).
• 1 horloge synchronisée sur l’UTC (smartphone en heure réseau/GPS, site time.is) : toutes les heures sont notées en UTC.
• 1 éphéméride donnant la déclinaison du Soleil au jour de la mesure.
• 1 calculatrice (fonction arctangente), feuille de relevé (§10).

Ce matériel est celui du défi n° 1 (longitude), plus l’éphéméride : les deux défis peuvent être menés le même jour, avec la même installation.

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : une date commune (+ dates de repli météo), le protocole, la hauteur du gnomon, la même source d’éphéméride pour $\delta$, et le fait de tout noter en UTC.
2. Chaque école repère à l’avance l’heure UTC approximative de son midi solaire (mesure du défi n° 1, ou calculateur d’éphémérides) pour planifier la séance.
3. Contrairement au défi n° 1, la mesure de chaque école est autonome : elle donne la latitude du lieu sans rien attendre du partenaire. Les mesures n’ont donc pas besoin d’être simultanées, ni même faites le même jour, à condition que chaque école utilise la valeur de $\delta$ de son propre jour de mesure. Le même jour reste préférable : mêmes conditions, comparaison plus parlante, et bonus du §8 possible.
4. Le jour J, chaque équipe mesure son ombre de midi (§6) et calcule sa latitude (§7).
5. Échange des résultats (mail, visioconférence) : $H$, $L$, direction de l’ombre, $z$, $\delta$, latitude mesurée, latitude GPS. Séance commune de comparaison, en particulier si les deux écoles sont dans des hémisphères opposés (une ombre vers le Nord, une ombre vers le Sud, deux formules différentes pour un même Soleil).

6. Protocole de mesure

Sécurité, à rappeler aux élèves avant de sortir : on ne regarde jamais le Soleil directement, ni à l’œil nu, ni avec des lunettes de soleil, ni à travers un instrument. Toute la mesure se fait dos au Soleil, sur l’ombre.

Étape 0 : installation (le matin, bien avant midi).

• Poser la surface parfaitement horizontale (niveau à bulle).
• Planter le gnomon parfaitement vertical (fil à plomb). Marquer le pied O.
• Mesurer la hauteur $H$ du gnomon (du sol au sommet ou au nodus) au millimètre.

Étape 1 : repérer le midi solaire vrai.

• Utiliser la méthode des ombres égales décrite au défi n° 1 (§6 de la fiche longitude) : deux passages de la pointe de l’ombre sur un même cercle, à $t_1$ et $t_2$ (UTC), donnent $t_{\text{midi}} = (t_1+t_2)/2$ et la bissectrice de l’angle $P_1OP_2$ matérialise la méridienne (ligne Nord-Sud).

Étape 2 : mesurer l’ombre minimale.

• Autour de $t_{\text{midi}}$, marquer la pointe de l’ombre toutes les 3 à 5 minutes, en notant à chaque fois l’heure UTC et la longueur $L$ mesurée de O à la pointe (au centre de la tache si elle est floue).
• Retenir la longueur minimale $L$ : l’ombre correspondante doit être alignée sur la méridienne, bonne vérification.

Étape 3 : noter la direction de l’ombre à midi.

• Vers le Nord ou vers le Sud : c’est elle qui choisit la formule (§3.3).

Étape 4 : calculer l’angle.

• $\tan z = L/H$, donc $z = \arctan(L/H)$ et $h = 90° - z$.

Étape 5 : lire la déclinaison.

• Dans l’éphéméride, à la date de la mesure : valeur et signe de $\delta$.

Étape 6 : améliorer la précision (recommandé).

• Refaire la mesure un ou plusieurs autres jours : moyenne des latitudes obtenues, dispersion = ordre de grandeur de l’incertitude.

7. Traitement des données

1. Chaque école calcule $z = \arctan(L/H)$.
2. Elle lit $\delta$ du jour (avec son signe) dans l’éphéméride.
3. Elle applique la formule adaptée à la direction de son ombre :

$$\varphi = \delta + z \;\;(\text{ombre au Nord}) \qquad\text{ou}\qquad \varphi = \delta - z \;\;(\text{ombre au Sud})$$

4. Comparaison locale : écart entre $\varphi$ mesurée et la latitude GPS, converti en kilomètres avec $1°$ de latitude $\approx 2\pi R / 360 \approx 111$ km ($R = 6371$ km).

5. Comparaison croisée : les deux écoles confrontent leurs résultats (valeurs, signes, hémisphères), vérifient la cohérence des deux formules et estiment ensemble laquelle des deux mesures est la plus précise, et pourquoi (§9).

8. Exemple chiffré complet

Le 21 octobre 2026, l’éphéméride donne pour le Soleil $\delta = -10{,}8°$ (valeur à relire pour l’année et le jour de votre propre mesure). Deux établissements du réseau mesurent le même jour :

École A (Madrid, hémisphère Nord) : $$\tan z = \dfrac{124{,}5}{100{,}0} = 1{,}245 \qquad\Longrightarrow\qquad z = 51{,}2° \qquad (h = 38{,}8°)$$ Ombre vers le Nord, donc : $$\varphi_A = \delta + z = -10{,}8 + 51{,}2 = \mathbf{+40{,}4°} \quad\text{soit } 40{,}4° \text{ Nord}$$ Écart au GPS : $40{,}46 - 40{,}4 = 0{,}06°$, soit environ 7 km.

École B (Buenos Aires, hémisphère Sud) : $$\tan z = \dfrac{44{,}4}{100{,}0} = 0{,}444 \qquad\Longrightarrow\qquad z = 23{,}9° \qquad (h = 66{,}1°)$$ Ombre vers le Sud (Soleil au nord du zénith), donc : $$\varphi_B = \delta - z = -10{,}8 - 23{,}9 = \mathbf{-34{,}7°} \quad\text{soit } 34{,}7° \text{ Sud}$$ Écart au GPS : $34{,}7 - 34{,}55 = 0{,}15°$, soit environ 17 km.

Les deux écoles retrouvent leur latitude à mieux que $0{,}2°$ près, avec un bâton et une ombre.

Bonus 1 : retrouver $\delta$ depuis deux hémisphères

En inversant la formule avec la latitude GPS, chaque école peut « mesurer » la déclinaison du Soleil :

• École A (ombre au Nord) : $\delta = \varphi_{GPS} - z = 40{,}46 - 51{,}2 = -10{,}74 \approx -10{,}7°$
• École B (ombre au Sud) : $\delta = \varphi_{GPS} + z = -34{,}55 + 23{,}9 = -10{,}65 \approx -10{,}7°$

Deux écoles, deux hémisphères, deux formules… et la même déclinaison, proche de la valeur d’éphéméride $-10{,}8°$ : belle vérification croisée.

Bonus 2 : la distance nord-sud entre les deux écoles (clin d’œil à Ératosthène)

Écart de latitudes mesuré : $\Delta\varphi = 40{,}4 - (-34{,}7) = 75{,}1°$. Le long d’un méridien : $$d \approx \Delta\varphi \times 111{,}2 \text{ km/°} = 75{,}1 \times 111{,}2 \approx \mathbf{8350 \text{ km}}$$ C’est la démarche d’Ératosthène (défi n° 12) prise à l’envers : lui déduisait le rayon de la Terre d’un angle et d’une distance ; nous déduisons une distance d’un angle et du rayon connu.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : l’incertitude sur l’angle vaut $\Delta z \approx \cos^2 z \times \Delta L / H$ (en radians). Pour $H = 1$ m et une lecture de l’ombre à $5$ mm près, cela donne $0{,}1°$ à $0{,}25°$ selon la hauteur du Soleil. La latitude est donc accessible à environ $\pm 0{,}2°$, soit $\pm 20$ km : un gnomon haut, un nodus fin et des mesures répétées font toute la différence.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Hauteur du gnomon $H$ = ……… cm Latitude GPS : ………… Source de l’éphéméride : …………

Relevés autour du midi solaire (prévu vers ……… UTC) :

Dépouillement :

• Direction de l’ombre à midi : Nord / Sud (entourer)
• $\tan z = L_{\min}/H$ = ………
• $z = \arctan(L_{\min}/H)$ = ……… ° et $h = 90° - z$ = ……… °
• $\delta$ du jour (éphéméride, avec son signe) = ……… °
• Formule utilisée : ombre au Nord $\varphi = \delta + z$ ; ombre au Sud $\varphi = \delta - z$
• Latitude mesurée $\varphi$ = ……… ° Latitude GPS = ……… ° Écart = ……… ° = ……… km ($\times\, 111$)

Comparaison entre les deux écoles :

• $\varphi_{\text{école A}}$ = ……… $\varphi_{\text{école B}}$ = ……… $\Delta\varphi$ = ……… °
• Distance nord-sud correspondante $\approx \Delta\varphi \times 111$ km = ……… km

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : tangente et arctangente, angles complémentaires, valeurs signées, incertitudes et arrondis, conversion degrés ⇄ radians.
• Physique : mouvement apparent du Soleil, saisons et obliquité de l’axe terrestre (défi n° 3), réfraction atmosphérique.
• SVT / Géographie : insolation et zones climatiques (défi n° 9) ; définir proprement tropiques ($\pm 23{,}4°$ : latitudes où le zénith solaire est possible) et cercles polaires ($\pm 66{,}6°$).
• Histoire des sciences : le « point de midi » des navigateurs ; la latitude se mesurait facilement en mer (hauteur du Soleil ou de l’étoile polaire), la longitude non : c’est tout l’objet du défi n° 1. Défis n° 1 et n° 2 combinés, chaque école détermine ses deux coordonnées avec un bâton, une horloge UTC et une éphéméride : le « point » complet des marins d’autrefois.
• Club d’astronomie : la nuit, dans l’hémisphère Nord, la hauteur de l’étoile polaire donne directement la latitude, sans calcul ni éphéméride.

12. Repères historiques

• Le gnomon est sans doute le plus ancien instrument astronomique : Chine, Babylone et Égypte l’utilisaient déjà pour suivre le Soleil et les saisons.
• Vers 230 av. J.-C. : Ératosthène exploite l’ombre de midi à Alexandrie et le puits sans ombre de Syène pour mesurer la circonférence de la Terre (défi n° 12) : notre mesure repose exactement sur la même géométrie.
• IIᵉ siècle : Ptolémée classe les lieux connus par « climats », ancêtres de nos parallèles de latitude.
• Moyen Âge : les astronomes du monde arabe perfectionnent l’astrolabe ; les navigateurs de l’océan Indien visent l’étoile polaire avec le kamal.
• XVᵉ et XVIᵉ siècles : quadrant, astrolabe de mer, bâton de Jacob ; les pilotes portugais publient des tables de déclinaison du Soleil (le regimento do sol) pour appliquer, déjà, la formule $\varphi = \delta + z$ en pleine mer.
• 1731 : l’octant de Hadley, puis le sextant, font de la hauteur du Soleil à midi le rituel quotidien de tout navire : c’est le « point de midi ».
• La latitude était donc conquise depuis longtemps quand la longitude résistait encore : il fallut attendre les chronomètres de Harrison (1761, voir défi n° 1) pour compléter le point.
• Aujourd’hui, le GPS donne les deux coordonnées en une seconde ; nos élèves les retrouvent avec une tige verticale, une ombre et une table de déclinaison.

Une tige plantée droite, une ombre à midi, une éphéméride : voilà, à un sextant près, tout le secret du point de midi qui a guidé les navigateurs pendant cinq siècles. Deux écoles des deux hémisphères peuvent le refaire en une heure, et comparer leurs Soleils.