Protocole complet : Le pendule de Foucault et la rotation de la Terre

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène », défi n° 6 de la série (voir le catalogue des 12 expériences historiques AEFE) : mise en évidence de la rotation de la Terre et de sa dépendance en latitude.

1. Fiche d’identité

Idée-force : un pendule oscille dans un plan fixe par rapport aux étoiles ; c’est le sol qui tourne sous lui. Vu depuis la salle, le plan d’oscillation semble donc tourner, à une vitesse qui dépend de la latitude : rapide près des pôles, nulle à l’équateur, et de sens opposé dans les deux hémisphères. Deux écoles AEFE situées de part et d’autre de l’équateur observent ainsi des rotations en sens contraires : c’est la manipulation de la série où l’hémisphère change qualitativement le résultat.

2. Objectifs pédagogiques

• Voir la rotation de la Terre en direct, sans regarder le ciel, dans une simple cage d’escalier.
• Comprendre la notion de référentiel non galiléen et l’effet du référentiel tournant (force de Coriolis, abordée qualitativement au collège, quantitativement en Terminale).
• Vérifier expérimentalement une loi en sinus : $\Omega = 15°/\text{h} \times \sin\varphi$.
• Exploiter un graphe azimut(temps) et en extraire une pente.
• Confronter deux mesures faites à des latitudes (et si possible des hémisphères) différentes, et coordonner un travail scientifique à distance.

3. Principe scientifique

3.1 Un plan d’oscillation fixe… vu d’un sol qui tourne

Dans un référentiel lié aux étoiles, le plan d’oscillation d’un pendule idéal reste fixe : aucune force horizontale ne peut le faire tourner. Mais la salle de classe, elle, est entraînée par la rotation terrestre. Pour l’observateur au sol, tout se passe comme si le plan d’oscillation tournait lentement ; en Terminale, on interprète cette rotation apparente par la force de Coriolis dans le référentiel terrestre, non galiléen.

3.2 La loi en sinus de la latitude

Seule la composante verticale locale du vecteur rotation de la Terre fait tourner le plan du pendule. À la latitude $\varphi$, cette composante vaut $\Omega_{\text{Terre}} \sin\varphi$, d’où la vitesse de rotation du plan d’oscillation :

$$\boxed{\;\Omega = 15°/\text{h} \times \sin\varphi\;}$$

(avec $15°/\text{h} = 360° \div 24\,\text{h}$ ; en toute rigueur la Terre tourne de 360° en un jour sidéral de 23 h 56 min, soit $15{,}04°/\text{h}$, correction négligeable ici). La durée d’un tour complet du plan d’oscillation, le « jour pendulaire », vaut :

$$\boxed{\;T = \dfrac{23\ \text{h}\ 56\ \text{min}}{\sin\varphi}\;}$$

3.3 Le sens de rotation dépend de l’hémisphère

• Hémisphère Nord : rotation dans le sens horaire (vue de dessus).
• Hémisphère Sud : rotation dans le sens antihoraire.
• À l’équateur ($\varphi = 0$) : $\sin\varphi = 0$, le plan ne tourne pas.
• Aux pôles ($\varphi = \pm 90°$) : un tour complet en 23 h 56 min.

👉 C’est tout l’intérêt du binôme AEFE : si les deux écoles sont d’hémisphères opposés, elles observent des sens de rotation contraires avec le même protocole. Le même pendule, deux résultats opposés : la preuve que c’est bien la Terre qui tourne, et pas le pendule.

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 point de suspension haut et solide : cage d’escalier, charpente de gymnase, préau, permettant un fil de 3 à 8 m (plus le pendule est long, mieux c’est). Fixation au plafond vérifiée par un adulte.
• 1 attache libre en rotation : émerillon de pêche robuste, cardan simple ou anneau + crochet pivotant, pour que la suspension ne contraigne pas le plan d’oscillation.
• 1 masse lourde et symétrique de 5 à 15 kg : boule de pétanque lestée, bidon rempli de sable, kettlebell. Fixer sous la masse une pointe (vis, clou) dirigée vers le sol.
• 1 fil unique solide et peu élastique (câble acier fin, drisse pré-étirée) : pas de double suspension.
• 1 rapporteur géant au sol : cercle en papier ou carton gradué en degrés, rayon supérieur ou égal à 50 cm, centré sous le point de suspension (à 50 cm du centre, $1°$ correspond à un arc d’environ $0{,}9$ cm : lisible).
• 1 ficelle fine + 1 briquet pour le lâcher par fil brûlé (§6).
• 1 fil à plomb (centrage du rapporteur), 1 horloge synchronisée UTC (smartphone en heure réseau, site time.is), feuille de relevés (§10).

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : une date commune (les mesures n’ont pas besoin d’être simultanées, chacun manipule à une heure confortable de sa journée), une convention d’azimut (degrés lus sur le rapporteur, sens horaire compté positif), et le fait de tout noter en UTC.
2. Chaque école repère son site : hauteur disponible, absence de courants d’air (fenêtres et portes fermées, ventilation coupée), sol dégagé.
3. Sécurité : une masse de 5 à 15 kg en mouvement est dangereuse. Fixation au plafond installée et testée par un adulte (tirer fortement vers le bas avant toute oscillation), périmètre dégagé matérialisé au sol, personne dans le plan d’oscillation, cheveux et vêtements amples à l’écart.
4. Chaque école note sa latitude GPS $\varphi$ et calcule à l’avance son $\Omega_{\text{théorique}} = 15 \times \sin\varphi$ : cela fixe la durée de mesure utile (30 à 90 min) et l’espacement des relevés.
5. Essais à blanc la veille : réglage du lâcher, lecture du rapporteur, chasse aux frottements de l’attache.
6. Le jour J, chaque équipe mesure puis échange ses résultats (mail, visioconférence) : sens de rotation, $\Omega$ mesuré, latitude. Exploitation croisée au §7.

6. Protocole de mesure

Tout se joue au lâcher. Si la masse part avec la moindre vitesse latérale, elle décrit une ellipse au lieu d’un aller-retour rectiligne, et cette ellipse précessionne d’elle-même (précession parasite dite d’Airy), parfois plus vite que l’effet Foucault recherché. D’où la méthode du fil brûlé : aucun contact humain à l’instant du départ.

Étape 0 : Installation.

• Suspendre la masse par le fil unique et l’attache pivotante. Vérifier avec le fil à plomb que la pointe, au repos, désigne le centre du rapporteur.
• Laisser la masse s’immobiliser totalement (plusieurs minutes, patience).

Étape 1 : Lâcher par fil brûlé.

• Écarter la masse de la verticale avec une ficelle fine attachée à un support fixe (chaise lestée, pied de rambarde). Amplitude modérée : un écart de 40 à 60 cm suffit pour un pendule de 5 m.
• Attendre l’immobilité complète (la ficelle tendue, plus aucun balancement ni torsion), puis brûler la ficelle : la masse part sans aucune impulsion latérale.
• Noter l’heure UTC du lâcher et l’azimut initial du plan d’oscillation.

Étape 2 : Relevés réguliers.

• Toutes les 10 minutes, noter l’heure UTC et l’azimut du plan d’oscillation : on lit sur le rapporteur la graduation que la pointe survole aux extrémités de son va-et-vient (moyenner les deux extrémités si besoin).
• Poursuivre pendant 30 à 90 min selon l’amortissement. Noter aussi l’amplitude restante et l’éventuelle ellipticité du mouvement (la pointe décrit-elle un segment ou un ovale ?).
• Si l’ellipse devient visible à l’œil (petit axe supérieur à quelques centimètres), arrêter et relancer : mieux vaut 40 min propres que 90 min contaminées.

Étape 3 : Répéter.

• Faire au moins 2 ou 3 lâchers dans la journée. La cohérence des pentes obtenues valide la mesure ; un essai aberrant (lâcher raté) est écarté en le justifiant.

7. Traitement des données

1. Pour chaque essai, tracer le graphe azimut (°) en fonction du temps (min ou h) : les points doivent s’aligner.
2. La pente de la droite est la vitesse de rotation mesurée $\Omega_{\text{mesuré}}$ (en °/h). Noter son signe : azimut croissant = sens horaire (hémisphère Nord attendu), décroissant = antihoraire (hémisphère Sud).
3. Comparer à la théorie locale : $\Omega_{\text{théorique}} = 15 \times \sin\varphi$, et calculer l’écart relatif.
4. Exploitation croisée entre les deux écoles : remplir le tableau commun

5. Test de la loi en sinus : le rapport $\Omega_{\text{mesuré}} / \sin\varphi$ doit valoir environ 15°/h pour les deux écoles, alors que leurs $\Omega$ sont différents. Et si les hémisphères sont opposés, les sens observés doivent être contraires.

8. Exemple chiffré complet

Deux établissements du réseau mesurent le même jour, chacun en fin de matinée locale :

Relevés de Madrid (lâcher à 09 h 00 UTC) : azimut $12{,}0°$ ; $13{,}5°$ ; $15{,}3°$ ; $16{,}9°$ ; $18{,}6°$ ; $20{,}1°$ ; $21{,}8°$ toutes les 10 min. Rotation totale : $21{,}8 - 12{,}0 = 9{,}8°$ en 60 min, azimut croissant :

$$\Omega_{\text{Madrid}} = +9{,}8\ \text{°/h (horaire)} \qquad \text{écart théorie} \approx +1\ \%$$

Relevés de Buenos Aires (lâcher à 14 h 00 UTC) : azimut $245{,}0°$ ; $243{,}7°$ ; $242{,}3°$ ; $240{,}9°$ ; $239{,}6°$ ; $238{,}3°$ ; $236{,}8°$. Rotation totale : $-8{,}2°$ en 60 min, azimut décroissant :

$$\Omega_{\text{Buenos Aires}} = -8{,}2\ \text{°/h (antihoraire)} \qquad \text{écart théorie} \approx 4\ \%$$

Test croisé de la loi en sinus :

$$\dfrac{9{,}8}{0{,}648} = 15{,}1\ \text{°/h} \qquad ; \qquad \dfrac{8{,}2}{0{,}568} = 14{,}4\ \text{°/h}$$

➡️ Deux vitesses différentes, deux sens opposés, mais un même rapport proche de $15$ °/h : la loi $\Omega = 15°/\text{h} \times \sin\varphi$ est vérifiée à quelques pourcents, et le changement d’hémisphère inverse bien le sens de rotation.

Bonus 1 : Retrouver sa latitude avec un pendule

En inversant la loi, chaque école retrouve sa latitude sans regarder le ciel :

$$\varphi = \arcsin\left(\dfrac{\Omega_{\text{mesuré}}}{15}\right)$$

• Madrid : $\arcsin(9{,}8/15) = 40{,}8°$, contre $40{,}4°$ au GPS (écart $0{,}4°$).
• Buenos Aires : $\arcsin(8{,}2/15) = 33{,}1°$, contre $34{,}6°$ au GPS (écart $1{,}5°$).

Bonus 2 : Le « jour pendulaire »

Durée d’un tour complet du plan d’oscillation, $T = 23\ \text{h}\ 56 / \sin\varphi$ :

• Madrid : $T \approx 36{,}9$ h ; Buenos Aires : $T \approx 42{,}1$ h ; Panthéon de Paris ($48{,}85°$ N) : $T \approx 31{,}8$ h, soit la valeur affichée sous la coupole ; pôle : 23 h 56 min ; équateur : durée infinie.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : à Madrid, le plan tourne d’environ $1{,}6°$ toutes les 10 min, soit $1{,}4$ cm d’arc à 50 cm du centre. Une lecture à $\pm 0{,}5°$ près sur 60 min donne $\Omega$ à environ $\pm 1$ °/h, soit la latitude à quelques degrés près : largement suffisant pour trancher le sens et vérifier la loi en sinus.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Latitude GPS $\varphi$ : ………… $\Omega_{\text{théorique}} = 15 \sin\varphi$ = ………… °/h

Essai n° : …… Longueur du fil $L$ : ……… m Masse : ……… kg Heure UTC du lâcher : ………… Azimut initial : ……… °

Exploitation :

• Pente du graphe azimut(t) : $\Omega_{\text{mesuré}}$ = ……… °/h Sens observé : horaire / antihoraire
• Écart relatif à $\Omega_{\text{théorique}}$ : ……… % Rapport $\Omega_{\text{mesuré}} / \sin\varphi$ = ……… °/h (attendu : $\approx 15$)
• École partenaire : $\varphi$ = ………, sens observé = …………, $\Omega_{\text{mesuré}}$ = ……… °/h, $\Omega/\sin\varphi$ = ……… °/h
• Latitude retrouvée : $\varphi = \arcsin(\Omega_{\text{mesuré}}/15)$ = ……… ° (à comparer au GPS)

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : fonction sinus et sa réciproque, pente d’une droite, régression linéaire, incertitudes.
• Physique : référentiels galiléens et non galiléens, force de Coriolis (Terminale), période propre du pendule $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ (environ $4{,}5$ s pour $L = 5$ m), lien avec le défi n° 5 de la série (mesure de $g$ par le pendule simple, Richer 1672).
• Géographie et SVT : la force de Coriolis à grande échelle, sens d’enroulement des dépressions et des cyclones (opposé dans les deux hémisphères, comme nos deux pendules), courants marins, alizés.
• Histoire des sciences : comment prouver le mouvement d’un référentiel « depuis l’intérieur » ? De l’argument du bateau de Galilée au pendule de Foucault, puis au gyroscope.
• Lettres et philosophie : Le Pendule de Foucault d’Umberto Eco (1988) ; la démonstration publique comme genre scientifique.

12. Repères historiques

• 1651 : Riccioli tente en vain de trancher expérimentalement entre Terre fixe et Terre tournante ; pendant deux siècles, la rotation reste admise sans preuve mécanique directe.
• Janvier 1851 : dans la cave de sa maison parisienne, Léon Foucault observe la lente dérive du plan d’un pendule de 2 m, puis recommence à l’Observatoire de Paris avec 11 m.
• 31 mars 1851 : démonstration publique au Panthéon : fil d’acier de 67 m, sphère de 28 kg, un aller-retour en 16 s, un stylet traçant dans le sable. Le plan tourne d’environ $11{,}3$ °/h : « Vous êtes invités à venir voir tourner la Terre. »
• 1851 : Foucault énonce lui-même la loi en $\sin\varphi$, aussitôt vérifiée par des répliques dans le monde entier, y compris dans l’hémisphère Sud où le sens s’inverse comme prévu.
• 1852 : Foucault invente le gyroscope, seconde preuve mécanique de la rotation terrestre.
• 1902 puis 1995 : le pendule est réinstallé au Panthéon, où il oscille encore aujourd’hui ; des centaines de pendules de Foucault fonctionnent dans les musées et universités du monde.

Le pendule de Foucault fut la première preuve directe et visible par tous de la rotation de la Terre : nulle lunette, nul astre, juste une masse, un fil et de la patience. Nos deux écoles, à deux latitudes et si possible deux hémisphères, refont en une matinée la démonstration de 1851 : et la Terre tourne toujours.