Protocole complet : Le rayon de la Terre (expérience d’Ératosthène)

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène ». Défi n° 12 du catalogue (voir experiences_historiques_AEFE.md) : l’expérience fondatrice, celle qui donne au projet la seconde moitié de son nom.

1. Fiche d’identité

Idée-force : le Soleil est si lointain que ses rayons arrivent parallèles en tout point de la Terre. Si, le même jour, deux écoles éloignées mesurent chacune à son midi solaire l’angle entre la verticale et la direction du Soleil (la distance zénithale $z$), la différence des deux angles est exactement l’angle au centre de la Terre qui sépare les deux villes. Avec la distance entre elles, une simple proportionnalité donne la circonférence de la Terre, puis son rayon. C’est la mesure d’Ératosthène (~230 av. J.-C.), refaite avec deux gnomons et une liaison internet.

2. Objectifs pédagogiques

• Mesurer un angle sans le voir, par une longueur d’ombre et la fonction arctangente.
• Comprendre la géométrie rayons parallèles + verticales concourantes = angle au centre.
• Exploiter une proportionnalité entre arc et angle pour remonter à la circonférence terrestre.
• Refaire la démarche complète d’Ératosthène : mesure d’angle, mesure de distance, calcul, critique du résultat.
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes (rôle de la distance entre les écoles).

⚠️ Sécurité : ne JAMAIS regarder le Soleil directement, ni à l’œil nu, ni avec un instrument. Tout le protocole se fait dos au Soleil : on ne travaille que sur l’ombre.

3. Principe scientifique

3.1 La distance zénithale mesurée par une ombre

Un gnomon vertical de hauteur $h$ projette au midi solaire vrai une ombre de longueur $\ell$, la plus courte de la journée, alignée nord-sud (voir le défi n° 1 pour le midi solaire). L’angle entre la verticale (direction du zénith) et la direction du Soleil, appelé distance zénithale, vaut :

$$\boxed{\;z = \arctan\dfrac{\ell}{h}\;}$$

C’est l’angle qu’Ératosthène lisait sur son gnomon d’Alexandrie pendant que le Soleil éclairait le fond des puits de Syène ($z = 0$).

3.2 Des rayons parallèles à l’angle au centre

Les verticales des deux écoles, prolongées, se coupent au centre de la Terre. Les rayons solaires étant parallèles, la différence des distances zénithales est égale à l’angle au centre $\Delta\alpha$ entre les deux villes (angles alternes-internes) :

        rayons solaires paralleles
   ------------------------------------>
        verticale A            verticale B
             \   Soleil             |  Soleil
        z_A ( \  /             z_B (| /
               \/                   |/
   ____________A____________________B__________   surface de la Terre
                \                  /
                 \      Δα        /
                  \  (angle au   /
                   \  centre)   /
                       O  centre de la Terre

$$\boxed{\;\Delta\alpha = |z_A - z_B|\;}\qquad\text{(avec la convention de signe du § 3.3)}$$

L’arc de méridien $d$ qui sépare les deux villes est à la circonférence $C$ ce que $\Delta\alpha$ est à $360°$ :

$$\boxed{\;C = 360° \times \dfrac{d}{\Delta\alpha}\;}\qquad\text{puis}\qquad\boxed{\;R = \dfrac{C}{2\pi}\;}$$

3.3 La règle des signes (le piège classique)

Convention : on compte $z$ positivement quand le Soleil est au sud du zénith (ombre pointant vers le nord), négativement quand il est au nord du zénith (ombre vers le sud). Alors $\Delta\alpha = |z_A - z_B|$ dans tous les cas.

• Deux écoles de l’hémisphère Nord (hors tropiques) : le Soleil est au sud du zénith pour les deux, les $z$ sont positifs et se soustraient. Exemple : $z_A = +25{,}1°$ et $z_B = +18{,}7°$ donnent $\Delta\alpha = 6{,}4°$.
• Une école au nord, une au sud : le Soleil est au sud du zénith pour l’une, au nord pour l’autre ; les $z$ sont de signes opposés et les valeurs s’ajoutent. Exemple, le même jour ($\delta = +15{,}3°$) : Madrid ($40{,}4°$ N) mesure $z_A = +25{,}1°$ et une école à $20{,}0°$ S mesure une ombre vers le sud, $z_C = -35{,}3°$ ; alors $\Delta\alpha = |25{,}1 - (-35{,}3)| = 60{,}4°$, soit bien $40{,}4° + 20{,}0°$.

Le sens de l’ombre à midi (vers le nord ou vers le sud) donne le signe sans ambiguïté : le noter sur la fiche de relevés.

3.4 Cas général : longitudes un peu différentes (le plus courant)

Si les deux écoles ne sont pas exactement sur le même méridien, chacune mesure à son propre midi solaire local, donc pas au même instant UTC ; c’est le midi local qui compte, car c’est à cet instant que $z$ ne dépend que de la latitude et de la déclinaison du jour. Les mesures n’ont pas besoin d’être simultanées, seulement faites le même jour (la déclinaison varie de moins de $0{,}4°$ par jour). Pour $d$, on prend alors la composante nord-sud de la distance entre les villes, mesurée le long du méridien. Cas idéal, même méridien exactement : les deux midis solaires coïncident en UTC et la mesure est véritablement simultanée.

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 gnomon vertical : tige rigide et droite (≈ 1 m, c’est mieux), terminée par une pointe ou une petite bille pour une ombre nette. Mesurer sa hauteur $h$ au millimètre.
• 1 surface plane et horizontale : grande feuille, carton rigide ou sol dallé.
• 1 fil à plomb + 1 niveau à bulle : gnomon vertical et plan horizontal, c’est crucial.
• 1 mètre ruban / règle graduée, ficelle + craie (cercles de la méthode des ombres égales).
• 1 horloge synchronisée sur l’UTC (smartphone en heure réseau/GPS ou site time.is) : toutes les heures sont notées en UTC.
• 1 calculatrice (fonction arctangente) et la feuille de relevés (§ 10).
• 1 carte à grande échelle ou un calculateur de distance en ligne pour la distance $d$ (§ 5).

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : une date commune (+ dates de repli météo), la hauteur des gnomons, la convention de signe de $z$ (§ 3.3), et le fait de tout noter en UTC.
2. Chaque école repère à l’avance l’heure UTC approximative de son midi solaire (méthode du défi n° 1 ou calculateur d’éphémérides) pour planifier la séance. Insister auprès des élèves : les deux équipes ne mesureront pas au même moment, et c’est normal.
3. Mesurer la distance nord-sud $d$ entre les deux villes : ce sont nos « bématistes » modernes. Deux outils : l’échelle d’une carte (distance lue le long du méridien) ou un calculateur de distance orthodromique en ligne (dans ce cas, ne garder que la composante nord-sud si les longitudes diffèrent).
4. Le jour J, chaque équipe mesure $z$ à son midi solaire local (§ 6) et note le sens de l’ombre.
5. Échange des valeurs (mail, visioconférence) → calcul commun (§ 7), puis vérification finale au GPS.

6. Protocole de mesure

Étape 0 : installation (le matin, bien avant midi).

• Poser la surface parfaitement horizontale (niveau à bulle).
• Planter le gnomon parfaitement vertical (fil à plomb). Marquer le pied O et mesurer la hauteur $h$.

Étape 1 : trouver le midi solaire local (méthode des ombres égales, voir défi n° 1).

• Le matin, marquer la pointe de l’ombre (point P₁, heure UTC $t_1$) et tracer le cercle de centre O passant par P₁ ; l’après-midi, quand la pointe repasse sur le cercle (point P₂, heure UTC $t_2$), le midi solaire vaut $t_{\text{midi}} = (t_1 + t_2)/2$.
• Version express si le midi solaire est déjà connu à quelques minutes près : relever la longueur de l’ombre toutes les 5 minutes autour de l’heure attendue et retenir le minimum.

Étape 2 : mesurer l’ombre de midi.

• À l’instant du midi solaire, mesurer $\ell$ = distance du pied O à la pointe de l’ombre (viser le centre de la zone de pénombre). Faire 3 lectures rapprochées autour du minimum et garder la plus courte ou la moyenne.
• Noter l’heure UTC de la mesure et le sens de l’ombre (vers le nord ou vers le sud).

Étape 3 : calculer la distance zénithale.

$$z = \arctan\dfrac{\ell}{h}\qquad\text{puis appliquer le signe de la convention § 3.3}$$

Étape 4 : améliorer la précision (recommandé).

• Répéter la mesure avec un second gnomon (ou un gnomon plus haut) et moyenner les $z$ obtenus ; la dispersion donne l’incertitude. Un gnomon de 1 m avec une ombre lue à ±3 mm donne $z$ à environ ±0,2°.

7. Traitement des données : de l’angle au rayon de la Terre

1. Chaque école a sa distance zénithale signée : $z_A$ et $z_B$.
2. Angle au centre : $\Delta\alpha = |z_A - z_B|$.
3. Distance nord-sud $d$ entre les deux villes (carte ou calculateur, § 5).
4. Circonférence puis rayon :

$$C = 360° \times \dfrac{d}{\Delta\alpha} \qquad\text{et}\qquad R = \dfrac{C}{2\pi}$$

5. Vérifications finales au GPS :
   • $\Delta\varphi_{\text{GPS}} = |\varphi_A - \varphi_B|$ à comparer à l’angle $\Delta\alpha$ mesuré ;
   • $R$ à comparer aux 6 371 km du rayon terrestre moyen.

Attention à la circularité : retrouver $d$ par $d = R_{\text{réf}} \times \Delta\varphi_{\text{GPS}}$ (en radians) suppose déjà connu le rayon de la Terre ! Cette formule ne sert donc qu’en vérification ; la « vraie » mesure de $d$ vient de la carte ou du calculateur de distance, comme les pas comptés des bématistes.

8. Exemple chiffré complet

École A : lycée de Madrid ($40{,}4°$ N ; $3{,}7°$ O). École B : lycée de Rabat ($34{,}0°$ N ; $6{,}8°$ O). Écart de longitude : $3{,}1°$ seulement, quasi même méridien. Date commune : le 2 mai (déclinaison du Soleil ce jour-là, d’après l’éphéméride : $\delta \approx +15{,}3°$). Gnomons de $h = 100{,}0$ cm. Les midis solaires tombent vers 12 h 12 UTC à Madrid et 12 h 24 UTC à Rabat ($3{,}1° \times 4$ min/° ≈ 12 min d’écart) : les deux mesures ne sont pas simultanées, et c’est normal.

Angle au centre : $$\Delta\alpha = |25{,}1° - 18{,}7°| = 6{,}4°$$

Distance nord-sud (carte, le long du méridien) : $d \approx 712$ km. Attention : la distance directe Madrid-Rabat vaut environ 764 km, mais elle « penche » vers l’ouest ; seule la composante nord-sud correspond à l’angle $\Delta\alpha$.

Circonférence et rayon : $$C = 360° \times \dfrac{712}{6{,}4} \approx 40\,050\ \text{km} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;R = \dfrac{C}{2\pi} \approx 6\,374\ \text{km}\;}$$

Comparaison au rayon moyen officiel de 6 371 km : écart de 0,05 % (un coup de chance : la précision réaliste est plutôt de 5 à 10 %, voir § 9).

Vérifications : $\Delta\varphi_{\text{GPS}} = 40{,}4° - 34{,}0° = 6{,}4°$, en accord avec $\Delta\alpha$ ✔️. Et en bonus, chaque école retrouve sa latitude par $\varphi = z + \delta$ (Soleil au sud du zénith) : $25{,}1 + 15{,}3 = 40{,}4°$ à Madrid, $18{,}7 + 15{,}3 = 34{,}0°$ à Rabat ✔️ (c’est exactement le défi n° 2).

Bonus : refaire le calcul d’Ératosthène lui-même

À Syène (Assouan), au solstice d’été, le Soleil est au zénith à midi : il éclaire le fond des puits, $z_S = 0$. À Alexandrie, quasi sur le même méridien, le gnomon donne un angle de 1/50 de cercle, soit $360°/50 = 7{,}2°$. Les bématistes donnent la distance : 5 000 stades.

$$C = 50 \times 5\,000 = 250\,000\ \text{stades}$$

(valeur ensuite arrondie par Ératosthène à 252 000 stades, divisible par 60). Toute la question est la valeur du stade, encore débattue : avec le stade « égyptien » de 157,5 m, $C \approx 39\,375$ km, à moins de 2 % de la valeur réelle ; avec le stade attique de 185 m, $C \approx 46\,250$ km, soit +16 %. Dans tous les cas la méthode est irréprochable : seule l’unité fait débat.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : avec $z$ mesuré à ±0,2° près dans chaque école, $\Delta\alpha$ est connu à ±0,3° près, soit environ 5 % pour $\Delta\alpha \approx 6°$ ; en ajoutant quelques % sur $d$, on obtient $R$ à 5 à 10 % près : excellent pour une mesure au bâton. Plus les deux écoles sont éloignées en latitude, plus $\Delta\alpha$ est grand et meilleure est la précision relative.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Latitude GPS : ………… Longitude GPS : ………… Hauteur du gnomon $h$ = ……… cm

Sens de l’ombre à midi : vers le nord ☐ / vers le sud ☐ → signe de $z$ (+ si Soleil au sud du zénith) : ………

Calcul commun (à deux écoles) :

• $z_A$ = ……… ° et $z_B$ = ……… ° (signés) → $\Delta\alpha = |z_A - z_B|$ = ……… °
• Distance nord-sud (carte / calculateur) : $d$ = ……… km
• $C = 360° \times d / \Delta\alpha$ = ……… km → $R = C / 2\pi$ = ……… km
• Comparaison : $R_{\text{officiel}} = 6\,371$ km → écart relatif = ……… %
• Vérification GPS : $\Delta\varphi_{\text{GPS}}$ = ……… ° (à comparer à $\Delta\alpha$)

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : tangente et arctangente, angles alternes-internes, proportionnalité arc-angle, radians, moyenne et incertitude.
• Physique : propagation rectiligne de la lumière, parallélisme des rayons d’une source très lointaine, ombre et pénombre (le Soleil a un diamètre apparent de 0,5°, d’où le flou de l’ombre).
• Géographie : latitude et méridiens, échelles des cartes et calculs de distance, tropiques (le puits de Syène est sur le tropique du Cancer), zones climatiques (lien avec le défi n° 9).
• Histoire des sciences : de la « belle mesure » d’Ératosthène à la méridienne de Delambre et Méchain et à la définition du mètre ; le rôle des instruments simples dans les grandes découvertes.
• Dans la série : le défi n° 1 (midi solaire, méthode des ombres égales) est le préalable technique ; le défi n° 2 (latitude par la hauteur du Soleil) est la vérification naturelle de chaque $z$ mesuré.

12. Repères historiques

• ~276-194 av. J.-C. : Ératosthène de Cyrène, mathématicien, géographe, poète et athlète, troisième bibliothécaire du Musée d’Alexandrie. Surnommé « Bêta » car réputé deuxième en tout… il fut premier en géographie.
• ~230 av. J.-C. : la « belle mesure ». Au solstice d’été, le Soleil éclaire le fond des puits de Syène (Assouan, sur le tropique du Cancer) : il y est au zénith. Le même jour à Alexandrie, le gnomon indique 1/50 de cercle (7,2°). Les bématistes, arpenteurs professionnels qui comptaient leurs pas, donnent 5 000 stades entre les deux villes : $C = 250\,000$ stades.
• Iᵉʳ siècle av. J.-C. : Posidonius refait la mesure avec l’étoile Canopus entre Rhodes et Alexandrie ; sa valeur, trop faible, reprise par Ptolémée, fera croire à Colomb que l’Asie est proche par l’ouest.
• IXᵉ siècle : le calife Al-Mamun fait mesurer la longueur du degré de méridien par ses astronomes dans la plaine de Sinjar (Mésopotamie) : un résultat d’une remarquable précision pour l’époque.
• 1670 : l’abbé Jean Picard mesure par triangulation l’arc de méridien Paris-Amiens ; son résultat (équivalent à $R \approx 6\,372$ km) servira à Newton pour valider la gravitation universelle.
• 1792-1798 : Delambre et Méchain mesurent la méridienne de Dunkerque à Barcelone ; le mètre est défini (1795-1799) comme la dix-millionième partie du quart de méridien terrestre. C’est pourquoi la circonférence de la Terre vaut environ 40 000 km… par construction !
• Aujourd’hui : chaque année, aux équinoxes, des milliers de classes du monde entier refont la mesure dans le cadre des projets scolaires internationaux « Ératosthène ». Notre défi n° 12 s’inscrit dans cette lignée.

Un puits, un bâton et des pas comptés : avec presque rien, Ératosthène a mesuré le monde à quelques pour cent près, dix-huit siècles avant le premier tour du monde. Nos deux gnomons, à des centaines de kilomètres l’un de l’autre, refont aujourd’hui le même geste : le rayon de la Terre est au bout de l’ombre.