Protocole complet : La durée du jour et l’inclinaison de l’axe terrestre

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène ». Défi n° 3 de la série (voir le catalogue des 12 expériences historiques AEFE) : à la même date, deux établissements de latitudes différentes chronomètrent la durée du jour et en déduisent l’obliquité de l’axe terrestre.

1. Fiche d’identité

Idée-force : l’axe de rotation de la Terre est incliné d’environ 23,4° sur le plan de son orbite. À une date donnée, le Soleil éclaire donc les latitudes de façon inégale : le même jour, la durée du jour n’est pas la même à Athènes et à Johannesburg. En chronométrant chacun la durée du jour à la même date, puis en comparant, les deux établissements mettent en évidence cette inclinaison et peuvent même la mesurer.

2. Objectifs pédagogiques

• Comprendre pourquoi la durée du jour varie avec la latitude et la saison (obliquité de l’axe terrestre).
• Mesurer une durée par chronométrage de deux événements astronomiques (premier et dernier rayon), en heure UTC.
• Confronter une mesure à un modèle : la formule de l’angle horaire du coucher, et en discuter les écarts (réfraction, demi-diamètre).
• Relier ce phénomène à la photopériode étudiée en SVT (floraison, migrations, rythmes biologiques).
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes, comme Hipparque comparant ses « climats ».

3. Principe scientifique

3.1 Pourquoi la durée du jour dépend de la latitude

La position apparente du Soleil sur la sphère céleste est repérée par sa déclinaison $\delta$ : l’angle entre la direction du Soleil et le plan de l’équateur. À cause de l’inclinaison de l’axe terrestre, $\delta$ varie au fil de l’année entre environ $-23{,}4°$ (solstice de décembre) et $+23{,}4°$ (solstice de juin), en passant par $0°$ aux équinoxes. C’est cette variation, combinée à la latitude $\varphi$ du lieu, qui fixe la durée du jour : elle est le moteur des saisons.

3.2 La formule de l’angle horaire du coucher

Entre son lever et son coucher, le Soleil « tourne » autour de l’axe des pôles à raison de 15° par heure (rotation terrestre). L’angle horaire $H_0$ parcouru entre le midi solaire et le coucher (le même qu’entre le lever et le midi solaire) vérifie :

$$\boxed{\;\cos H_0 = -\tan\varphi \times \tan\delta\;}$$

d’où la durée géométrique du jour (du lever au coucher du centre du Soleil, sans atmosphère) :

$$\boxed{\;D = \dfrac{2\,H_0}{15}\;}\qquad (H_0 \text{ en degrés}, D \text{ en heures})$$

Cas particuliers qui valident le modèle :

• Équinoxes ($\delta = 0$) : $\cos H_0 = 0$, $H_0 = 90°$, $D = 12$ h partout sur Terre.
• Équateur ($\varphi = 0$) : $D = 12$ h toute l’année.
• $|\tan\varphi \times \tan\delta| \geq 1$ : plus de lever ni de coucher, c’est le soleil de minuit ou la nuit polaire, au-delà des cercles polaires (latitude $90° - 23{,}4° = 66{,}6°$).

La déclinaison $\delta$ du jour se lit dans une éphéméride, ou s’estime par la formule approchée $\delta \approx 23{,}44° \times \sin\!\left(\frac{360}{365}(N + 284)\right)$ ($N$ : numéro du jour dans l’année).

3.3 Jour observé et jour géométrique : réfraction et demi-diamètre

Ce que l’on chronomètre réellement, c’est le premier rayon (le bord supérieur du disque perce l’horizon) et le dernier rayon. Or :

• la réfraction atmosphérique relève l’image du Soleil d’environ $34'$ à l’horizon (on voit le Soleil alors qu’il est géométriquement encore couché) ;
• on vise le bord du disque et non son centre : demi-diamètre d’environ $16'$.

Au total le Soleil « apparaît » quand son centre est encore $50'$ ($\approx 0{,}83°$) sous l’horizon. Le jour observé est donc plus long que le jour géométrique : d’environ 6 à 8 minutes aux latitudes basses et moyennes, un peu plus aux latitudes élevées (le Soleil y traverse l’horizon plus obliquement).

👉 C’est une source d’écart connue et assumée : elle joue dans le même sens et avec le même ordre de grandeur pour les deux écoles. Elle se réduit donc fortement quand on compare la différence des durées, et on peut la corriger explicitement (§7 et §8).

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 horloge synchronisée sur l’UTC : smartphone en heure réseau/GPS, ou site time.is. Toutes les heures sont notées en UTC.
• 1 site d’observation à horizon dégagé au levant et au couchant : toit-terrasse, colline, bord de mer, grande esplanade. C’est le vrai « matériel » critique du défi.
• 1 gnomon vertical (tige d’environ 1 m, fil à plomb) pour la variante « ombre » du §6 et le repérage des directions.
• Boussole ou carte pour prévoir les azimuts de lever et de coucher (repérage de la veille).
• Éventuellement des lunettes d’éclipse certifiées ISO 12312-2 (jamais de lunettes de soleil ordinaires).
• Feuille de relevés (§10), crayons, appareil photo (horodatage en option).

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : une date commune (idéalement proche d’un solstice, écarts maximaux), des dates de repli météo, la définition commune des instants (premier rayon, dernier rayon) et le fait de tout noter en UTC.
2. Chaque école repère son site quelques jours avant : azimuts de lever et de coucher (ils s’écartent de l’Est et de l’Ouest hors équinoxes), obstacles à l’horizon (immeubles, montagnes). Un horizon masqué raccourcit la durée mesurée : choisir le site en conséquence, ou noter la hauteur des obstacles.
3. Prévoir l’organisation humaine : le lever peut être très matinal ; une petite équipe volontaire (ou les familles) peut assurer l’observation du lever, la classe entière celle du coucher.
4. Vérifier les heures prévues de lever et de coucher (éphémérides en ligne) pour être en place 15 minutes avant.
5. Le jour J, chaque équipe chronomètre son lever et son coucher (§6), puis les deux écoles échangent leurs relevés (mail, visioconférence) pour le calcul commun (§7).

6. Protocole de mesure

⚠️ Sécurité absolue : ne JAMAIS regarder le Soleil directement, même bas sur l’horizon, même quelques secondes, et jamais à travers jumelles ou appareil optique. Au lever comme au coucher, on note l’instant du premier ou du dernier rayon par des coups d’œil très brefs, ou mieux, indirectement : éclairement d’un repère, ombre d’un gnomon, lunettes d’éclipse certifiées.

Étape 0 : la veille.

• Repérer le point de l’horizon où le Soleil se lèvera/se couchera, installer le gnomon, vérifier l’horloge UTC.

Étape 1 : le lever (premier rayon).

• Être en place 15 minutes avant l’heure prévue.
• Noter l’heure UTC $t_{\text{lever}}$ à l’instant où le premier point brillant du disque perce l’horizon. En pratique : dès que le gnomon projette une ombre, ou dès qu’un repère élevé (mur, poteau) s’illumine directement.

Étape 2 : le coucher (dernier rayon).

• Même dispositif le soir : noter l’heure UTC $t_{\text{coucher}}$ à l’instant où le dernier point brillant disparaît (l’ombre du gnomon s’évanouit).

Étape 3 : la durée du jour.

$$\boxed{\;D_{\text{mesurée}} = t_{\text{coucher}} - t_{\text{lever}}\;}$$

Variante « ombre du gnomon » (horizon partiellement masqué). Si l’horizon vrai est inaccessible, on chronomètre l’apparition et la disparition de l’ombre du gnomon : c’est moins précis (pénombre, obstacles qui retardent le lever apparent et avancent le coucher apparent), mais l’écart est systématique et peut être discuté en classe. On peut aussi noter la hauteur angulaire des obstacles et estimer la correction, ou comparer avec les heures d’éphémérides pour quantifier l’effet de masque.

Recommandé : répéter la mesure sur 2 ou 3 jours consécutifs (la durée varie très peu d’un jour à l’autre, sauf près des équinoxes) pour estimer la reproductibilité.

7. Traitement des données

1. Chaque école calcule sa durée mesurée : $D_A$ et $D_B$, et la convertit en heures décimales.
2. Comparaison brute : même date, latitudes différentes → durées différentes. L’école la plus proche du pôle éclairé (hémisphère en été) a le jour le plus long. Écart mesuré : $\Delta D = D_A - D_B$.
3. Confrontation au modèle : avec $\delta$ du jour (éphéméride) et la latitude GPS $\varphi$ de chaque école, calculer $\cos H_0 = -\tan\varphi \tan\delta$, puis $D_{\text{théo}} = 2H_0/15$.
4. Vérification croisée : chaque école calcule les deux durées théoriques et vérifie les mesures de l’autre. Écart attendu mesure/théorie : $+6$ à $+10$ minutes par école (réfraction + demi-diamètre, §3.3), largement atténué dans la différence $\Delta D$.
5. Remonter à l’inclinaison de l’axe : en inversant la formule avec la durée corrigée de la réfraction,

$$H_0 = 7{,}5 \times D_{\text{géo}} \qquad\text{puis}\qquad \tan\delta = -\dfrac{\cos H_0}{\tan\varphi}$$

Au solstice, $\delta$ vaut précisément l’obliquité de l’axe terrestre : on doit retrouver $\approx 23{,}4°$. À une autre date, connaissant $\varphi$, on retrouve la déclinaison du jour et on la compare à l’éphéméride.

8. Exemple chiffré complet

Deux établissements du réseau, presque sur le même méridien mais dans deux hémisphères, mesurent le 21 juin (solstice, $\delta = +23{,}4°$) :

Durées géométriques théoriques :

Athènes : $\cos H_0 = -\tan 38{,}0° \times \tan 23{,}4° = -0{,}7813 \times 0{,}4327 = -0{,}3381$

$$H_0 = 109{,}8° \qquad D_{\text{théo}} = \dfrac{2 \times 109{,}8}{15} = 14{,}63\ \text{h} = 14\ \text{h}\ 38\ \text{min}$$

Johannesburg : $\cos H_0 = -\tan(-26{,}1°) \times \tan 23{,}4° = +0{,}4899 \times 0{,}4327 = +0{,}2120$

$$H_0 = 77{,}8° \qquad D_{\text{théo}} = \dfrac{2 \times 77{,}8}{15} = 10{,}37\ \text{h} = 10\ \text{h}\ 22\ \text{min}$$

Confrontation :

➡️ Les jours observés sont bien plus longs que les jours géométriques, de l’ordre de grandeur attendu (réfraction + demi-diamètre, §3.3), et l’effet se compense presque entièrement dans la différence : le modèle en $\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta$ est validé à quelques minutes près. Même date, deux latitudes : 4 h de jour d’écart, voilà l’inclinaison de l’axe rendue visible.

Bonus 1 : retrouver l’obliquité de l’axe terrestre

Depuis Johannesburg : durée mesurée $10$ h $29$ min, corrigée de $7$ min (réfraction + demi-diamètre) → $D_{\text{géo}} \approx 10$ h $22$ min $= 10{,}367$ h.

$$H_0 = 7{,}5 \times 10{,}367 = 77{,}75° \qquad \cos H_0 = 0{,}2122$$

$$\tan\delta = -\dfrac{0{,}2122}{\tan(-26{,}1°)} = \dfrac{0{,}2122}{0{,}4899} = 0{,}4331 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\delta \approx 23{,}4°\;}$$

Au solstice, cette déclinaison est l’obliquité : deux chronomètres et une formule ont mesuré l’inclinaison de l’axe de la Terre. (Le même calcul depuis Athènes, avec $14$ h $38$ min, redonne $\delta \approx 23{,}4°$ : vérification croisée réussie.)

Bonus 2 : la symétrie des hémisphères

Pour deux latitudes opposées, $\cos H_0$ change de signe, donc $H_0' = 180° - H_0$ et :

$$D(\varphi) + D(-\varphi) = 24\ \text{h}$$

Exemple : à 38,0° S le 21 juin, $H_0 = 70{,}2°$, $D = 9$ h $22$ min ; et $14$ h $38 + 9$ h $22 = 24$ h $00$. Le jour « en trop » de l’un est exactement la nuit « en trop » de l’autre : c’est l’hiver austral pendant l’été boréal.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : chronométrer lever et coucher à $\pm 1$ min près donne la durée à $\pm 2$ min, soit $H_0$ à $\pm 0{,}25°$ près : largement suffisant pour retrouver l’obliquité à mieux que $1°$.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Latitude GPS : ………… Longitude GPS : …………

Calcul commun (à deux écoles, même date) :

• $D_{\text{école A}}$ = ……… ; $D_{\text{école B}}$ = ……… ; différence mesurée $\Delta D$ = ………
• Différence théorique (formule, latitudes GPS) : ……… → écart mesuré/théorique : ………
• École au jour le plus long : ………… ; hémisphère en été : …………
• Obliquité retrouvée (au solstice, après correction de la réfraction) : $\delta$ = ……… ° (attendu : 23,4°)

11. Prolongements pluridisciplinaires

• SVT : la photopériode est le signal saisonnier majeur du vivant : floraison des plantes de jours longs ou courts, déclenchement des migrations et de la reproduction chez les oiseaux, dormance des bourgeons, rythmes circannuels. Les relevés des deux écoles fournissent des données réelles pour ces chapitres.
• Mathématiques : trigonométrie ($\tan$, $\cos$, fonctions réciproques), conversions temps ⇄ angle, heures décimales, courbe $D(\text{date})$ sur une année.
• Physique : rotation et révolution terrestres, réfraction de la lumière dans l’atmosphère, modélisation et écart mesure/modèle.
• Géographie : zones climatiques, cercles polaires et tropiques, contrastes saisonniers entre hémisphères, notion d’insolation (lien avec le défi n° 9 de la série).
• Histoire des sciences : les « climats » d’Hipparque, la géodésie d’Al-Biruni, les heures inégales de l’Antiquité (les cadrans divisaient le jour, quelle que soit sa durée, en 12 heures).

12. Repères historiques

• Hipparque (IIᵉ s. av. J.-C.) classe les lieux habités en « climats » (du grec klima, inclinaison) définis par la durée du plus long jour de l’année : 13 h à Alexandrie, 16 h à Marseille d’après Pythéas. La durée du jour servait littéralement de latitude avant la latitude.
• Ptolémée (IIᵉ s.) reprend et tabule ces climats dans l’Almageste et la Géographie : la carte du monde antique est graduée en heures de jour.
• Al-Biruni (vers 973 à 1048) calcule avec une précision remarquable l’obliquité de l’écliptique (il obtient environ 23° 35’) et relie durée du jour, latitude et déclinaison : exactement la formule que nos élèves utilisent.
• 1920 : Wightman Garner et Harry Allard découvrent le photopériodisme chez les plantes : la durée du jour, que nous venons de mesurer, est un signal biologique fondamental.

Deux écoles, deux chronomètres, un même jour : en comparant simplement leurs durées de jour, nos élèves refont le geste d’Hipparque et d’Al-Biruni, et mesurent l’inclinaison de l’axe d’une planète.