Protocole complet : La distance Terre-Lune par parallaxe

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène » : défi n° 8 du catalogue (voir experiences_historiques_AEFE.md), sur les traces de Lalande et de La Caille (1751).

1. Fiche d’identité

Idée-force : fermez un œil, tendez le pouce, puis changez d’œil : le pouce « saute » devant le décor. C’est la parallaxe. Ici, les deux « yeux » sont deux écoles séparées de plusieurs milliers de kilomètres : vues de ces deux points au même instant UTC, la Lune n’occupe pas exactement la même position dans le ciel. Ce minuscule décalage angulaire $p$ (à peine 1°) suffit à calculer la distance Terre-Lune : $d \approx b / p$.

2. Objectifs pédagogiques

• Comprendre la parallaxe, méthode reine de mesure des distances en astronomie.
• Mesurer une hauteur angulaire avec un instrument fabriqué en classe.
• Manipuler la trigonométrie (distance zénithale, corde, conversion degrés ⇄ radians).
• Éprouver la notion de simultanéité : ici, contrairement au défi n° 1 (longitude), les deux mesures doivent être faites au même instant UTC.
• Mener une analyse d’incertitude honnête : avec un angle si petit, on vise un ordre de grandeur, et l’obtenir est déjà une immense réussite.
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes.

3. Principe scientifique

3.1 Une parallaxe de presque 1° : c’est énorme (en astronomie)

Depuis deux points A et B de la Terre, les directions visées vers la Lune diffèrent d’un angle $p$ (la parallaxe). Pour une base d’un rayon terrestre, cet angle vaut au maximum la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune :

$$\pi_0 = \arcsin\!\left(\frac{R}{d}\right) \approx 57' \approx 0{,}95°$$

C’est presque 1°, soit deux diamètres lunaires apparents : mesurable avec des moyens simples. Comparez : la parallaxe annuelle de l’étoile la plus proche est de $0{,}77''$, soit 4 500 fois moins. La Lune est le seul astre dont la distance soit accessible à un quadrant en carton.

3.2 La géométrie du triangle école A / école B / Lune

Cas simplifié (celui de Lalande et La Caille) : les deux écoles sont sur à peu près le même méridien, très écartées en latitude, et la mesure est faite au passage de la Lune au méridien (la Lune est alors dans le plan méridien commun, et au plus haut).

Chaque école mesure la hauteur $h$ de la Lune au-dessus de l’horizon, d’où la distance zénithale $z = 90° - h$. Les verticales des deux écoles font entre elles l’angle $\Delta\varphi$ (écart de latitude). Si la Lune était infiniment loin, on aurait exactement $z_1 + z_2 = \Delta\varphi$. Le surplus est la parallaxe :

$$\boxed{\;p = (z_1 + z_2) - \Delta\varphi\;}$$

Condition de validité : l’école nord doit voir la Lune vers le sud, l’école sud vers le nord (la Lune culmine « entre » les deux zéniths). Avec une école au nord de 29° N et l’autre au sud de 29° S, c’est garanti tous les jours, car la déclinaison de la Lune reste comprise entre $-28{,}6°$ et $+28{,}6°$.

3.3 De l’angle à la distance

L’angle $p$ est celui sous lequel la Lune « voit » la corde $b$ qui relie les deux écoles à travers la Terre :

$$b = 2R\sin\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) \qquad (R = 6371 \text{ km})$$

Comme $p$ est petit, le triangle est très effilé et :

$$\boxed{\;d \approx \frac{b}{p_{\text{(radians)}}}\;}$$

En toute rigueur, il faudrait la composante de $b$ perpendiculaire à la direction de la Lune (base efficace). L’écart est inférieur à 1 % tant que la déclinaison de la Lune reste à moins de 8° de la latitude moyenne des deux écoles, et de toute façon très inférieur à l’incertitude de mesure : on l’ignore.

3.4 Pourquoi la simultanéité est essentielle

La Lune parcourt son orbite en 27,3 jours : elle se déplace d’environ $0{,}55°$ par heure sur le fond du ciel, soit $0{,}009°$ par minute. Or on cherche un angle $p$ d’à peine 1° !

⚠️ Contrairement au défi n° 1 (longitude), où chaque école mesurait à son propre midi, ici les deux mesures doivent être faites au même instant UTC, à 1 ou 2 minutes près. Un décalage de 10 minutes fausse déjà $p$ de près de 0,1°, soit 7 % du résultat. C’est tout l’intérêt du top partagé en visioconférence.

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 quadrant maison : grand rapporteur (ou quart de cercle en carton gradué, rayon ≥ 20 cm), paille de visée collée le long du diamètre, fil à plomb (fil + écrou) fixé au centre. On vise la Lune à travers la paille : le fil marque la distance zénithale (ou la hauteur, selon la graduation choisie).
• Variante smartphone : application inclinomètre / théodolite (visée le long de la tranche du téléphone). Étalonner avant : 0° sur une table horizontale, 90° contre un mur vérifié au fil à plomb.
• Variante photo : photographier la Lune avec un premier plan de hauteur angulaire connue (plus délicat, en prolongement).
• 1 horloge synchronisée sur l’UTC : smartphone en heure réseau/GPS, ou site time.is. Toutes les heures sont notées en UTC.
• 1 dispositif de visioconférence pour le top synchronisé et le partage immédiat des valeurs.
• Coordonnées GPS précises des deux écoles (latitude surtout), éphémérides en ligne (Stellarium, IMCCE) pour l’heure du passage au méridien.
• Feuille de relevés (§10), crayons.

⚠️ Sécurité : ne jamais viser le Soleil, ni à l’œil nu ni à travers un instrument. Aux quartiers, la Lune est à environ 90° du Soleil : il n’y a aucune raison de pointer l’instrument vers lui.

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Choisir le binôme d’écoles : maximiser $\Delta\varphi$ (donc $p$), minimiser $\Delta\lambda$. Le couple en or dans le réseau AEFE : Stockholm et Le Cap ($\Delta\varphi \approx 93°$, $\Delta\lambda \approx 0{,}3°$). Autres pistes : Varsovie et Le Cap, Madrid et Abidjan ($\Delta\varphi = 35°$ seulement : $p \approx 0{,}5°$, nettement plus délicat).
2. Choisir la date : la Lune est bien visible de jour autour du premier quartier (l’après-midi) et du dernier quartier (le matin). Consulter les éphémérides pour trouver un jour où la Lune passe au méridien pendant les heures de classe des deux écoles : typiquement quelques jours avant le premier quartier (passage au méridien en milieu d’après-midi) ou quelques jours après le dernier quartier (passage en matinée). Prévoir 2 ou 3 dates de repli météo.
3. Fixer l’instant convenu T : l’heure UTC du passage de la Lune au méridien (si $\Delta\lambda$ est faible, les deux passages sont quasi simultanés : 0,3° d’écart = 1,2 minute). Tout le monde note T en UTC, jamais en heure légale locale.
4. Répétition générale (une semaine avant) : chaque équipe s’entraîne à viser la Lune et estime sa dispersion de mesure ; test de la visioconférence et du top synchronisé.
5. Jour J : visioconférence ouverte 15 minutes avant T ; au top, chaque équipe enchaîne ses visées (§6) ; échange immédiat des valeurs et calcul commun (§7).

6. Protocole de mesure

Étape 0 : fabrication et étalonnage du quadrant (en amont).

• Assembler rapporteur + paille + fil à plomb. Vérifier que le fil pivote librement.
• Étalonner : visée d’un objet à l’horizon lointain (lecture 0° de hauteur), visée du zénith le long d’un fil à plomb (90°). Noter le décalage éventuel et le corriger systématiquement.

Étape 1 : s’entraîner sur la Lune (les jours précédents).

• Chaque élève fait 3 visées ; comparer les lectures : la dispersion typique ($\pm 0{,}2°$ à $\pm 0{,}5°$) est l’incertitude réaliste de l’instrument.
• Convention commune aux deux écoles : viser le centre du disque lunaire (sinon, corriger du demi-diamètre : $0{,}25°$).

Étape 2 : la mesure du jour J, au top.

• À l’instant convenu T (top partagé en visioconférence), chaque équipe réalise 5 visées successives en moins de 2 minutes, si possible par 5 élèves différents.
• Noter pour chaque visée : heure UTC et hauteur lue $h$. Immobiliser le fil à plomb avec le doigt au moment de la lecture (sans le déplacer).

Étape 3 : moyennes.

• Chaque école calcule la moyenne $\bar{h}$ de ses 5 visées, puis sa distance zénithale :

$$z = 90° - \bar{h}$$

• Vérification qualitative croisée : l’école nord voit la Lune vers le sud, l’école sud vers le nord (condition du §3.2).

Étape 4 : échange.

• Les deux valeurs $z_1$ et $z_2$ sont échangées en direct, avec la dispersion des visées de chaque équipe : le calcul (§7) se fait ensemble, à l’écran.

7. Traitement des données

1. Écart de latitude (GPS) : $\Delta\varphi = |\varphi_1 - \varphi_2|$ (attention aux signes : une latitude sud est négative, donc entre hémisphères les valeurs s’ajoutent).
2. Parallaxe : $p = (z_1 + z_2) - \Delta\varphi$, en degrés.
3. Conversion en radians : $p_{\text{rad}} = p × \dfrac{\pi}{180}$.
4. Base : $b = 2R\sin\!\left(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)$ avec $R = 6371$ km.
5. Distance : $d \approx \dfrac{b}{p_{\text{rad}}}$.
6. Comparaison : distance moyenne Terre-Lune 384 400 km ; la distance réelle du jour varie entre 356 000 km (périgée) et 407 000 km (apogée) : la retrouver dans une éphéméride pour une comparaison honnête.
7. Encadrement d’incertitude : refaire le calcul avec $p \pm \delta p$ (où $\delta p$ cumule les dispersions des deux équipes) et donner $d$ sous forme de fourchette.

Corrections fines, à mentionner sans les imposer : demi-diamètre lunaire ($0{,}25°$) si l’on a visé un bord du disque ; réfraction atmosphérique, inférieure à $0{,}03°$ dès que la Lune est à plus de 35° de hauteur (c’est une raison de plus pour mesurer à la culmination).

8. Exemple chiffré complet

Deux établissements du réseau, quasi alignés en longitude et de part et d’autre de l’équateur :

Écarts : $\Delta\lambda = 0{,}3°$ (quasi même méridien ✔️) et $\Delta\varphi = 59{,}3 + 33{,}9 = 93{,}2°$.

Base (corde à travers la Terre) : $$b = 2 × 6371 × \sin\!\left(\frac{93{,}2°}{2}\right) = 12\,742 × \sin(46{,}6°) = 12\,742 × 0{,}7266 \approx 9\,258 \text{ km}$$

Jour J : trois jours après le dernier quartier, la Lune (déclinaison $\delta \approx +10°$ ce matin-là) passe au méridien commun vers 07 h 00 UTC, en pleine matinée scolaire au Cap (09 h 00 locales) comme à Stockholm (08 h 00 en hiver). Au top, moyennes des 5 visées :

Parallaxe : $$p = (50{,}0 + 44{,}6) - 93{,}2 = 1{,}4° \qquad p_{\text{rad}} = 1{,}4 × \frac{\pi}{180} = 0{,}02443 \text{ rad}$$

Distance Terre-Lune : $$\boxed{\;d \approx \frac{b}{p_{\text{rad}}} = \frac{9\,258}{0{,}02443} \approx 379\,000 \text{ km}\;}$$

➡️ À comparer aux 384 400 km moyens : écart de $1{,}4\,\%$ seulement. Soyons honnêtes : c’est un cas favorable. Avec une erreur réaliste de $\pm 0{,}3°$ sur chaque $z$, la parallaxe peut varier de $0{,}8°$ à $2{,}0°$, ce qui donne $d$ entre 265 000 et 663 000 km. L’objectif assumé est l’ordre de grandeur : quelques centaines de milliers de kilomètres, et non quelques milliers ni quelques millions. L’obtenir avec un rapporteur et une paille est déjà un exploit.

Bonus 1 : la distance en rayons terrestres, comme Hipparque

$$\frac{d}{R} = \frac{379\,000}{6\,371} \approx 59{,}5 \text{ rayons terrestres}$$

Hipparque avait obtenu entre 59 et 67 rayons terrestres il y a 22 siècles : nos élèves jouent dans la même cour.

Bonus 2 : retrouver la parallaxe horizontale

$$\pi_0 = \frac{R}{d} = \frac{6\,371}{379\,000} = 0{,}0168 \text{ rad} \approx 0{,}96° \approx 58'$$

À comparer aux $57'$ des éphémérides : c’est la valeur que Lalande et La Caille cherchaient à établir en 1751.

9. Sources d’erreur et précision

Le point dur, à dire clairement aux élèves : on soustrait deux grands nombres presque égaux ($z_1 + z_2 \approx 94{,}6°$ et $\Delta\varphi = 93{,}2°$) pour isoler un petit angle $p \approx 1°$. Une erreur de $0{,}3°$ sur chaque $z$ peut donc changer $d$ de $\pm 50\,\%$. C’est exactement la difficulté qu’ont affrontée tous les astronomes avant l’ère spatiale, et c’est pour cela qu’on maximise $\Delta\varphi$ et qu’on multiplie les visées.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Latitude GPS $\varphi$ : ………… Longitude GPS : ………… Date : ………… Instant convenu T (UTC) : ………… Phase de la Lune : …………

Distance zénithale : $z = 90° - \bar{h}$ = ……… ° La Lune est vue vers le : Nord / Sud (entourer)

Calcul commun (en visioconférence) :

• $z_A$ = ……… ° $z_B$ = ……… ° $\Delta\varphi$ = ……… °
• $p = (z_A + z_B) - \Delta\varphi$ = ……… ° → $p_{\text{rad}} = p × \pi / 180$ = ………
• $b = 2 × 6371 × \sin(\Delta\varphi / 2)$ = ……… km
• $d \approx b / p_{\text{rad}}$ = ……… km
• Fourchette avec $p \pm \delta p$ : entre ……… et ……… km
• Comparaison : 384 400 km en moyenne (356 000 à 407 000 km selon le jour) → écart = ……… %

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : trigonométrie (corde, distance zénithale), petits angles et radians, propagation des incertitudes (pourquoi une différence de grands nombres est fragile), encadrements.
• Physique : mouvement orbital de la Lune, phases, marées (la Lune si proche et si massive), lois de Kepler en ouverture.
• Astronomie : l’échelle des distances de l’Univers commence ici : parallaxe lunaire (≈ 1°), parallaxe solaire (transits de Vénus, $8{,}8''$), parallaxes stellaires (mission Gaia, jusqu’au millionième de degré).
• Histoire des sciences : les grandes expéditions astronomiques du XVIIIᵉ siècle, la coopération scientifique internationale (déjà !) entre Berlin et Le Cap.
• Géographie : latitudes, hémisphères, saisons inversées entre les deux écoles ; à relier aux défis n° 2 (latitude) et n° 12 (rayon de la Terre) de la même série, qui fournissent d’ailleurs $\varphi$ et $R$ « faits maison ».

12. Repères historiques

• Hipparque (IIᵉ s. av. J.-C.) utilise une éclipse de Soleil vue totale à l’Hellespont et partielle à Alexandrie : le décalage est un effet de parallaxe, d’où une distance de la Lune entre 59 et 67 rayons terrestres. Remarquablement juste.
• 1751 et 1752 : Nicolas-Louis de La Caille observe au cap de Bonne-Espérance pendant que Jérôme Lalande (19 ans !) observe à Berlin, presque sur le même méridien. En comparant les positions simultanées de la Lune, ils établissent sa parallaxe (environ $57'$) avec une précision inégalée : c’est exactement l’expérience que refont nos deux écoles, le réseau AEFE remplaçant l’Académie des sciences.
• 1969 à 1971 : les missions Apollo 11, 14 et 15 (et les sondes soviétiques Lunokhod) déposent des réflecteurs laser sur la Lune. Depuis, on mesure la distance Terre-Lune par temps d’aller-retour d’impulsions laser, au millimètre près.
• Cette précision moderne a révélé que la Lune s’éloigne de la Terre d’environ 3,8 cm par an : la valeur que vos élèves mesurent aujourd’hui n’est déjà plus tout à fait celle que mesureront leurs enfants.

Du pouce tendu devant l’œil aux réflecteurs d’Apollo, c’est la même idée : deux points de vue, un angle, une distance. Entre les deux, il y a eu deux astronomes de part et d’autre de l’équateur en 1751 ; il y a désormais aussi deux classes de l’AEFE.