Protocole complet : La constante solaire et l’insolation selon la latitude

Projet « Les 12 travaux d’Héraclosthène », défi n° 9 de la série (voir le catalogue experiences_historiques_AEFE.md) : mesurer la puissance solaire reçue par mètre carré dans deux établissements de latitudes très différentes, et comprendre pourquoi le même Soleil fabrique des climats si contrastés.

1. Fiche d’identité

Idée-force : le Soleil envoie vers la Terre un flux quasi constant, la constante solaire $E_0 = 1361\ \text{W/m}^2$ hors atmosphère. Pourtant il fait chaud à Libreville et froid à Copenhague. La raison n’est pas la distance au Soleil, mais l’inclinaison des rayons : aux hautes latitudes, le même faisceau s’étale sur une plus grande surface (facteur $\cos\theta_z$) et traverse une atmosphère plus épaisse. En mesurant, le même jour, le flux solaire dans deux écoles éloignées en latitude, on met ce mécanisme en évidence avec une simple boîte d’eau noircie.

Sécurité : ne JAMAIS regarder le Soleil directement, ni à travers un instrument (jumelles, lunette, viseur d’appareil photo). Aucune étape de ce protocole ne demande de viser le Soleil avec l’œil.

2. Objectifs pédagogiques

• Mesurer une puissance surfacique (en W/m²) avec un calorimètre rudimentaire : réinvestir $Q = mc\Delta T$.
• Découvrir la constante solaire et l’ordre de grandeur du flux au sol.
• Comprendre et vérifier la loi du cosinus : $\Phi_h = \Phi_\perp \cos\theta_z$, cœur de l’explication des zones climatiques.
• Relier une grandeur physique mesurée aux climats et biomes des deux villes partenaires (SVT, géographie).
• Pratiquer une démarche d’incertitude : identifier les pertes thermiques et les corriger.
• Coordonner un travail scientifique à distance entre deux équipes, avec des relevés datés en UTC.

3. Principe scientifique

3.1 La constante solaire

Au sommet de l’atmosphère, une surface de 1 m² placée perpendiculairement aux rayons reçoit une puissance :

$$E_0 = 1361\ \text{W/m}^2 \quad(\text{constante solaire, valeur satellitaire de référence})$$

Au sol, par ciel parfaitement clair et Soleil haut, l’atmosphère (diffusion, absorption) laisse passer environ 70 à 75 % du faisceau direct : on attend un flux direct perpendiculaire d’environ 900 à 1000 W/m².

3.2 Mesurer un flux avec de l’eau : la calorimétrie

On expose au Soleil une masse $m$ d’eau dans un récipient noirci (absorbeur quasi parfait) dont la face exposée a une aire $S$ connue. Pendant une durée $\Delta t$, l’eau reçoit l’énergie $\Phi \, S \, \Delta t$ et s’échauffe de $\Delta T$, avec $Q = mc\Delta T$. D’où la puissance surfacique reçue :

$$\boxed{\;\Phi = \dfrac{m\,c\,\Delta T}{S\,\Delta t}\;}\qquad c = 4185\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$$

C’est exactement le principe du pyrhéliomètre de Pouillet (1838), en version scolaire.

3.3 Pourquoi les pôles sont froids : la loi du cosinus

Soit $\theta_z$ la distance zénithale du Soleil (angle entre la verticale et la direction du Soleil). Un capteur horizontal reçoit le faisceau « de biais » : la même puissance s’étale sur une surface plus grande, donc

$$\boxed{\;\Phi_h \approx \Phi_\perp \times \cos\theta_z\;}$$

Au midi solaire vrai, la distance zénithale se calcule très simplement à partir de la latitude $\varphi$ et de la déclinaison du Soleil $\delta$ (même valeur pour toute la Terre un jour donné) :

$$\theta_z = |\varphi - \delta|$$

Repères pour $\delta$ : environ $0°$ aux équinoxes (20 mars, 23 septembre), $+23{,}4°$ au solstice de juin, $-23{,}4°$ au solstice de décembre (éphémérides pour les autres dates).

S’ajoute un second effet, dans le même sens : plus le Soleil est bas, plus le rayon traverse d’atmosphère. La masse d’air vaut environ $1/\cos\theta_z$ (valable pour $\theta_z$ inférieur à 70° environ), donc le flux direct $\Phi_\perp$ lui-même est un peu plus faible en haute latitude.

Même Soleil, deux causes du froid polaire : l’étalement géométrique du faisceau (facteur $\cos\theta_z$ sur un sol horizontal) et l’épaisseur d’atmosphère traversée (masse d’air $\approx 1/\cos\theta_z$). C’est toute l’explication des zones climatiques : la mesure croisée entre les deux écoles la rend visible en une heure.

4. Matériel (identique dans les deux établissements)

• 1 récipient absorbeur : boîte métallique plate peinte en noir mat (ou, version minimale, poche plastique noire posée dans un cadre). Face exposée rectangulaire d’aire $S$ mesurée à la règle (typiquement 0,01 à 0,02 m²).
• Eau : 100 à 200 g, pesés à la balance (1 mL = 1 g).
• 1 thermomètre (au dixième de °C si possible : sonde de laboratoire ou thermomètre numérique de cuisine) + un agitateur (ou agitation douce du récipient).
• 1 chronomètre et 1 horloge synchronisée sur l’UTC (smartphone en heure réseau/GPS ou site time.is). Toutes les heures sont notées en UTC.
• 1 planche + cales (ou pied réglable) pour incliner le capteur, et 1 petit bâtonnet collé perpendiculairement à la face exposée : quand son ombre se réduit à un point, la face est perpendiculaire aux rayons.
• 1 niveau à bulle (pour la mesure « capteur horizontal »).
• 1 vitre ou sac plastique transparent : écran anti-vent placé devant le capteur.
• Balance, règle, feuille de relevés (§10).

Variantes du capteur (pour comparer les méthodes ou équiper plusieurs groupes) :

• Petite cellule photovoltaïque calibrée : le courant de court-circuit est proportionnel à l’éclairement ; mesurer $I_{cc}$ au multimètre et étalonner une fois contre la mesure calorimétrique.
• Luxmètre ou application smartphone : ordre de grandeur seulement (environ 120 000 lux en plein soleil), utile comme contrôle de stabilité du ciel pendant la mesure.

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Se mettre d’accord sur : une date commune (+ dates de repli météo), un matériel aussi semblable que possible (même type de boîte, même peinture noire, même masse d’eau), et le fait de tout noter en UTC.
2. Chaque école détermine à l’avance l’heure UTC de son midi solaire vrai : par la méthode des ombres égales (voir la fiche « différence de longitude » de la même série), ou par le calcul $t_{\text{midi}} \approx 12\ \text{h} - E_t - \lambda/15$ (longitude Est positive, équation du temps $E_t$ lue dans une éphéméride).
3. Chaque école relève sa latitude GPS $\varphi$ et note la déclinaison $\delta$ du jour (même valeur pour les deux écoles) : on en déduit le $\cos\theta_z$ théorique attendu.
4. Le jour J, chaque équipe réalise deux mesures dans la fenêtre de plus ou moins 45 minutes autour de son midi solaire : capteur perpendiculaire puis capteur horizontal (§6). Le ciel doit rester totalement dégagé pendant les deux mesures : un voile de cirrus invisible à l’œil suffit à fausser le résultat.
5. Échange des résultats (mail, visioconférence) : chaque école communique $\varphi$, $m$, $S$, $\Delta T$, $\Delta t$, heures UTC, puis calcul et discussion en commun (§7).

6. Protocole de mesure

Deux mesures complémentaires par école, l’une face au Soleil (elle teste la constante solaire), l’autre à plat (elle mesure l’insolation réelle du sol, celle qui fait le climat).

Étape 0 : préparation du capteur.

• Peser la masse d’eau $m$ (100 à 200 g), la verser dans la boîte noircie, insérer le thermomètre.
• Mesurer l’aire $S$ de la face exposée. Installer l’écran transparent anti-vent.
• Astuce de calorimétriste : partir d’une eau 2 à 3 °C sous la température ambiante ; les gains parasites du début compensent alors les pertes de la fin.

Étape 1 : mesure « capteur perpendiculaire » ($\Phi_\perp$).

• Incliner la boîte face au Soleil et ajuster l’orientation jusqu’à ce que l’ombre du bâtonnet disparaisse (réduite à sa base) : la face est perpendiculaire aux rayons. Ne jamais viser le Soleil à l’œil.
• Agiter, lire la température initiale $T_1$ et noter l’heure UTC.
• Exposer pendant $\Delta t$ = 10 à 15 min, en agitant doucement et en réajustant l’orientation toutes les 2 à 3 min (le Soleil dérive d’environ 0,25° par minute).
• Agiter, lire $T_2$, noter l’heure UTC. Calculer $\Delta T = T_2 - T_1$.

Étape 2 : mesure « capteur horizontal » ($\Phi_h$).

• Remplacer l’eau par une eau fraîche à température proche de l’ambiante (ou laisser refroidir).
• Poser la boîte parfaitement à plat (niveau à bulle), face noire vers le ciel.
• Recommencer la même séquence : $T_1$, heure UTC, exposition $\Delta t$ identique en agitant, $T_2$, heure UTC.

Étape 3 : contrôle et répétition (recommandé).

• Si l’emploi du temps le permet, répéter chaque mesure une seconde fois et moyenner ; la dispersion donne l’incertitude.
• Noter tout passage de voile nuageux ou de vent : une mesure perturbée se refait, elle ne se corrige pas.

7. Traitement des données

1. Chaque école calcule ses deux flux avec la formule du §3.2 :

$$\Phi_\perp = \dfrac{m\,c\,\Delta T_\perp}{S\,\Delta t} \qquad\text{et}\qquad \Phi_h = \dfrac{m\,c\,\Delta T_h}{S\,\Delta t}$$

2. Test local de la loi du cosinus : comparer le rapport mesuré $\Phi_h / \Phi_\perp$ au $\cos\theta_z$ théorique du jour, avec $\theta_z = |\varphi - \delta|$ au midi solaire.
3. Comparaison croisée entre écoles (le même jour) :
   • les $\Phi_\perp$ doivent être assez proches (même Soleil !), avec un léger déficit pour l’école de haute latitude (masse d’air plus grande) ;
   • les $\Phi_h$ doivent être très différents : c’est la signature de la latitude.
4. Comparaison à la référence : situer $\Phi_\perp$ par rapport aux 900 à 1000 W/m² attendus au sol et à $E_0 = 1361\ \text{W/m}^2$ hors atmosphère.
5. Lecture climatique (SVT, géographie) : relier le rapport des $\Phi_h$ aux températures moyennes, aux biomes et aux paysages agricoles des deux villes.

8. Exemple chiffré complet

Deux établissements du réseau mesurent le 20 mars (équinoxe, $\delta \approx 0°$, donc $\theta_z = \varphi$ au midi solaire) : Libreville ($\varphi = 0{,}4°$ N, midi solaire vers 11 h 30 UTC) et Copenhague ($\varphi = 55{,}7°$ N, midi solaire vers 11 h 17 UTC). Matériel commun : $m = 0{,}150$ kg d’eau, boîte noire de 10 cm × 15 cm soit $S = 0{,}015\ \text{m}^2$, $\Delta t = 600$ s (10 min). On a donc $mc = 0{,}150 \times 4185 = 627{,}75$ J/K et :

$$\Phi = \dfrac{627{,}75 \times \Delta T}{0{,}015 \times 600} = 69{,}75 \times \Delta T \quad(\text{en W/m}^2,\ \Delta T\ \text{en °C})$$

Test de la loi du cosinus dans chaque école :

• Libreville : $\Phi_h / \Phi_\perp = 893/900 = 0{,}992$ ; théorie $\cos 0{,}4° = 1{,}000$. Soleil au zénith : sol et capteur perpendiculaire reçoivent la même chose.
• Copenhague : $\Phi_h / \Phi_\perp = 446/802 = 0{,}557$ ; théorie $\cos 55{,}7° = 0{,}563$. Accord à 1 % près : la loi du cosinus est vérifiée.

Comparaison croisée : les flux perpendiculaires ne diffèrent que de 11 % (900 contre 802 W/m² : masse d’air 1,0 contre $1/\cos 55{,}7° \approx 1{,}8$), mais les flux au sol diffèrent d’un facteur 2 (893 contre 446 W/m²). Même Soleil, insolation moitié moindre : voilà pourquoi mars est torride à Libreville et frais à Copenhague.

Bonus 1 : remonter à la constante solaire

À Libreville, Soleil quasi au zénith, l’atmosphère claire transmet environ 70 à 75 % du faisceau direct. On en déduit :

$$E_0 \approx \dfrac{900}{0{,}70\ \text{à}\ 0{,}75} \approx 1200\ \text{à}\ 1290\ \text{W/m}^2$$

soit 5 à 12 % sous la valeur vraie ($1361\ \text{W/m}^2$) : exactement la qualité du résultat de Pouillet en 1838.

Bonus 2 : la Terre au Soleil

La Terre intercepte le flux solaire sur son disque de rayon $R = 6371$ km :

$$P = E_0 \times \pi R^2 = 1361 \times \pi \times (6{,}371 \times 10^6)^2 \approx 1{,}74 \times 10^{17}\ \text{W}$$

soit près de 10 000 fois la puissance consommée par l’humanité (environ $1{,}8 \times 10^{13}$ W). Répartie sur toute la sphère ($4\pi R^2$), elle donne la moyenne $E_0/4 \approx 340\ \text{W/m}^2$, point de départ de tout bilan radiatif du climat.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : avec un thermomètre au dixième de °C et $\Delta T \approx 10$ °C, la lecture pèse à peine 2 % ; ce sont les pertes thermiques qui dominent (5 à 15 % de sous-estimation). Comme elles jouent dans le même sens dans les deux écoles et pour les deux orientations, le rapport $\Phi_h/\Phi_\perp$ et la comparaison croisée restent remarquablement fiables.

10. Fiche élève : tableau de relevés

Établissement : ………………… Ville : ………………… Date : ………… Latitude GPS $\varphi$ : ………… Déclinaison du jour $\delta$ : …………

Masse d’eau $m$ = ……… kg Aire exposée $S$ = ……… m² ($c = 4185$ J·kg⁻¹·K⁻¹)

Exploitation locale :

• $\theta_z = |\varphi - \delta|$ = ……… ° → $\cos\theta_z$ théorique = ………
• Rapport mesuré $\Phi_h / \Phi_\perp$ = ……… → écart à la théorie = ……… %

Calcul commun (à deux écoles, le même jour) :

• $\Phi_\perp$ école A = ……… W/m² $\Phi_\perp$ école B = ……… W/m² (attendu : valeurs proches)
• $\Phi_h$ école A = ……… W/m² $\Phi_h$ école B = ……… W/m² → rapport = ………
• Rapport théorique $\cos\theta_{z,A} / \cos\theta_{z,B}$ = ………
• Conclusion sur les climats des deux villes : …………………………………

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Physique : énergie et puissance, calorimétrie, chaîne énergétique d’un capteur solaire thermique ; rendement d’un panneau photovoltaïque ; pourquoi incliner les panneaux d’un angle proche de la latitude.
• SVT : insolation et photosynthèse, productivité primaire des biomes (forêt équatoriale contre toundra), saisons et rythmes biologiques.
• Géographie : zones climatiques (chaude, tempérées, froides) enfin expliquées et non seulement décrites ; cartes d’ensoleillement, agriculture et habitat des deux villes partenaires.
• Maths : trigonométrie ($\cos\theta_z$), proportionnalité, pourcentages d’écart, moyenne et dispersion.
• Enjeux climat : bilan radiatif de la Terre ($E_0/4 \approx 340$ W/m², albédo d’environ 30 %, effet de serre), potentiel de l’énergie solaire selon la latitude.
• Liens dans la série : le midi solaire vrai vient de la fiche « longitude » ; la latitude $\varphi$ peut être remesurée par l’ombre du gnomon (défi latitude) ; ce défi n° 9 en est le prolongement énergétique et climatique.

12. Repères historiques

• 1767 : Horace Bénédict de Saussure construit ses « boîtes chaudes » vitrées, ancêtres du four solaire et de nos capteurs noircis.
• 1838 : Claude Pouillet invente le pyrhéliomètre (calorimètre à eau noirci, exactement notre principe), introduit l’expression « constante solaire » et obtient environ $1228\ \text{W/m}^2$ : moins de 10 % sous la valeur moderne, un résultat remarquable pour l’époque.
• 1838 également : John Herschel, installé au cap de Bonne-Espérance, mesure le flux solaire avec son actinomètre et trouve des valeurs comparables : déjà une science de la constante solaire à deux latitudes très différentes, comme nos deux écoles.
• 1881 : Samuel Langley gravit le mont Whitney avec son bolomètre pour réduire l’effet de l’atmosphère ; sa correction atmosphérique trop forte le fait surestimer, la méthode (mesurer à plusieurs masses d’air) reste fondatrice.
• 1902 à 1950 : Charles Abbot (Smithsonian) traque pendant des décennies les variations de la constante solaire depuis des observatoires de montagne.
• Depuis 1978 : les radiomètres embarqués sur satellites mesurent enfin hors atmosphère : $E_0 = 1361\ \text{W/m}^2$, avec des variations de l’ordre de 0,1 % au rythme du cycle solaire de 11 ans. Cette stabilité est un pilier de l’étude du bilan radiatif terrestre et du climat.

Avec 150 g d’eau, une boîte noire et un thermomètre, nos élèves refont la mesure de Pouillet et retrouvent, chiffres à l’appui, ce que Herschel observait déjà depuis Le Cap : ce n’est pas le Soleil qui change d’une latitude à l’autre, c’est l’angle sous lequel la Terre le reçoit.