Protocole complet : L’aplatissement de la Terre

Défi n° 10 du catalogue « Les 12 travaux d’Héraclosthène » : mesurer localement la longueur d’un degré de latitude et rejouer la controverse Newton-Cassini. C’est le défi le plus exigeant de la série (★★★), et le plus emblématique d’une collaboration internationale.

1. Fiche d’identité

Idée-force : sur une sphère parfaite, un degré de latitude a la même longueur partout. Sur une Terre aplatie aux pôles, la longueur du degré augmente avec la latitude : environ $110{,}57$ km à l’équateur, $111{,}69$ km au pôle. Chaque école mesure chez elle la longueur locale du degré, $L(1°) = d / \Delta\varphi$, entre deux stations distantes de $d$ kilomètres, avec une différence de latitude astronomique $\Delta\varphi$ mesurée au Soleil (le GPS ne sert qu’à la distance et à la vérification). La comparaison entre les deux écoles rejoue les expéditions de Laponie et du Pérou (1735-1744).

⚠️ Sécurité : ne jamais regarder le Soleil directement, ni à l’œil nu ni à travers un instrument. Toutes les mesures se font sur des ombres.

2. Objectifs pédagogiques

• Mesurer une latitude astronomique à la minute d’arc près avec un gnomon très soigné (réinvestir le défi n° 2).
• Construire et exploiter le rapport $L(1°) = d/\Delta\varphi$ ; manier degrés, minutes et secondes d’arc.
• Propager des incertitudes et conclure honnêtement à l’aide de barres d’erreur.
• Comprendre que la forme de la Terre se lit dans la longueur du degré (notion de courbure).
• Revivre une grande controverse scientifique (Newton contre Cassini) et sa résolution par la mesure.
• Coordonner un travail de terrain entre deux stations locales, puis entre deux établissements distants.

3. Principe scientifique

3.1 La longueur d’un degré de latitude

Entre deux points d’un même méridien, séparés d’une distance nord-sud $d$ (en km) et dont les latitudes diffèrent de $\Delta\varphi$ (en degrés), la longueur locale d’un degré de latitude vaut :

$$\boxed{\;L(1°) = \dfrac{d}{\Delta\varphi\,(°)}\;}$$

C’est l’expérience d’Ératosthène (défi n° 12) lue à l’envers : au lieu d’en déduire le rayon d’une Terre supposée sphérique, on cherche si $L(1°)$ varie d’un endroit à l’autre, signature d’une Terre non sphérique.

3.2 Mesurer $\Delta\varphi$ au Soleil, pas au GPS

Comme au défi n° 2, la latitude s’obtient par la hauteur méridienne du Soleil : au midi solaire vrai, on mesure la distance zénithale $z = \arctan(\text{ombre}/\text{hauteur})$ et $\varphi = z + \delta$ (hémisphère nord, Soleil au sud du zénith ; si le Soleil passe au nord du zénith, $\varphi = \delta - z$), où $\delta$ est la déclinaison du Soleil ce jour-là. Le point décisif :

👉 Si les deux stations mesurent le même jour, la déclinaison $\delta$ est la même des deux côtés et s’élimine dans la différence : $\boxed{\;\Delta\varphi = |z_2 - z_1|\;}$ (valable quand les deux stations sont du même côté de la latitude où le Soleil passe au zénith ; c’est la station la plus éloignée de cette latitude qui a la plus grande $z$).

Le GPS est interdit pour $\Delta\varphi$ (ce serait lire la réponse dans l’appareil) ; il est autorisé pour la distance $d$ et pour la vérification finale.

3.3 Ce que prédit la Terre aplatie

Paradoxe apparent : la Terre aplatie a un rayon polaire plus court (6 357 km contre 6 378 km à l’équateur), et pourtant le degré y est plus long. Explication : près des pôles, la surface est moins courbée (rayon de courbure méridien d’environ 6 400 km, contre 6 335 km à l’équateur) ; il faut donc y parcourir plus de kilomètres pour faire tourner la verticale locale de 1°. Or la latitude astronomique suit la verticale locale, pas la direction du centre de la Terre. Sur l’ellipsoïde de référence :

$$\boxed{\;L(1°) \approx 111{,}133 - 0{,}560 \times \cos(2\varphi)\ \text{km}\;}$$

soit $110{,}57$ km à l’équateur, $111{,}13$ km à 45° et $111{,}69$ km au pôle. Écart total : $1{,}12$ km, à peine 1 %.

3.4 Honnêteté expérimentale : l’effet ne fait que 1 %

Entre nos deux écoles, l’ellipsoïde prédit un écart de l’ordre de $0{,}8$ km sur 111 km. Notre précision scolaire réaliste est de quelques pour cent : nous ne trancherons probablement pas nous-mêmes entre Newton et Cassini, et il faut le dire aux élèves dès le départ. L’intérêt n’en est pas moins immense : refaire le geste géodésique historique, comparer chaque mesure à l’ellipsoïde, comprendre pourquoi il a fallu des instruments à la seconde d’arc et des expéditions de plusieurs années pour gagner cette décimale.

4. Matériel (par station)

• 1 grand gnomon vertical de 2 à 5 m : mât de sport, poteau, ou fil à plomb géant tendu depuis une fenêtre ; plus il est haut, mieux c’est. Ordre de grandeur : sur un gnomon de 4 m, 1 minute d’arc sur $z$ représente environ 2 mm sur l’ombre.
• 1 nodus : bille ou boule (5 à 8 cm pour un gnomon de 4 m) fixée au sommet ; on pointe le centre de sa tache d’ombre elliptique, ce qui neutralise la pénombre (diamètre apparent du Soleil : 32′).
• Surface horizontale dure (dalle, contreplaqué calé), fil à plomb, niveau à bulle.
• Décamètre ruban (mesure de l’ombre au mm), craie, crayons, feuille de relevés (§10).
• Éphémérides du jour : déclinaison $\delta$ et équation du temps $E_t$ (site de l’IMCCE).
• Horloge synchronisée UTC (smartphone en heure réseau, time.is). Tout est noté en UTC.
• GPS ou carte : coordonnées des stations, pour la distance $d$ et la vérification finale.
• Option : le quadrant du défi n° 2, muni d’un vernier, en instrument de contrôle.

5. Préparation et coordination entre les deux établissements

1. Entre les deux écoles : s’accorder sur le protocole commun, le calendrier (même semaine si possible, pour l’émulation : aucune simultanéité n’est requise, chaque école mesure son degré chez elle), le format d’échange des données, et le tout-UTC.
2. Dans chaque école, choisir deux stations distantes de 20 à 50 km à peu près plein nord-sud (angle $\theta$ avec le méridien inférieur à 15°) : l’établissement lui-même, plus un site de sortie scolaire, un établissement partenaire local ou la famille d’un élève. Plus $d$ est grand, plus $\Delta\varphi$ est mesurable : 50 km ≈ 27′ d’arc, 20 km ≈ 11′ seulement. Viser la minute d’arc est déjà très ambitieux : privilégier 40 à 50 km.
3. Constituer deux équipes, une par station, pour mesurer le même jour : $\delta$ s’élimine alors exactement (§3.2). À défaut (une seule équipe qui se déplace), mesurer deux jours proches et corriger $\delta$ avec les éphémérides : attention, $\delta$ varie jusqu’à 24′ par jour aux équinoxes ; préférer les semaines proches d’un solstice.
4. Relever les coordonnées GPS des deux stations (distance $d$, angle $\theta$, vérification finale uniquement) et calculer le midi solaire vrai attendu en UTC : $t_{\text{midi}} = 12\ \text{h} - E_t - \lambda/15$ ($\lambda$ en °E, même convention que le défi n° 1).
5. Répéter la mesure plusieurs jours si possible et moyenner : l’incertitude aléatoire diminue en $1/\sqrt{N}$.
6. Mise en commun : chaque école calcule son $L(1°)$, puis visioconférence inter-écoles pour la confrontation Newton-Cassini (§7 et §8).

6. Protocole de mesure (dans chaque station, le même jour pour les deux stations d’une école)

Étape 0 : Installation (la veille ou le matin).

• Vérifier la verticalité du gnomon (fil à plomb) et l’horizontalité du plan de mesure (niveau à bulle).
• Mesurer très précisément la hauteur $H$ du nodus au-dessus du plan (au mm).

Étape 1 : Encadrer le midi solaire vrai.

• Utiliser l’heure calculée (§5, point 4), ou la retrouver par la méthode des ombres égales du défi n° 1.

Étape 2 : Relevés autour du midi vrai.

• De 20 min avant à 20 min après le midi vrai, marquer le centre de la tache d’ombre du nodus toutes les 2 min, avec l’heure UTC de chaque pointage.
• Mesurer les longueurs d’ombre $s$ (du pied du gnomon au centre de la tache). Le minimum est plat : moyenner les 3 à 5 valeurs les plus courtes (ou ajuster une parabole $s(t)$, joli exercice de spécialité maths).

Étape 3 : Distance zénithale méridienne.

$$\boxed{\;z = \arctan\left(\dfrac{s_{\min}}{H}\right)\;}$$

Convertir $z$ en degrés et minutes d’arc, avec une incertitude estimée d’après la dispersion des pointages.

Étape 4 : Latitude astronomique de contrôle.

• Calculer $\varphi = z + \delta$ (ou $\delta - z$ si le Soleil passe au nord du zénith) et la comparer à la latitude GPS : c’est le contrôle qualité de chaque station, pas la donnée du calcul.

Étape 5 : Recommencer.

• Refaire la mesure sur plusieurs jours (les deux stations toujours le même jour) et moyenner les $z$.

7. Traitement des données

1. Différence de latitude astronomique (stations mesurées le même jour) : $\Delta\varphi = |z_N - z_S|$, en minutes d’arc, puis en degrés ($1° = 60′$). Incertitude : les incertitudes des deux $z$ s’ajoutent quadratiquement.
2. Distance : $d$ entre les deux stations par carte ou GPS (nous l’assumons : le GPS est notre bématiste moderne, comme les compteurs de pas d’Ératosthène). En extraire la composante nord-sud : $d_{NS} = d \times \cos\theta$.
3. Longueur locale du degré :

$$\boxed{\;L(1°) = \dfrac{d_{NS}}{\Delta\varphi\,(°)}\;}$$

4. Incertitude : $d$ étant très précis, $\dfrac{\Delta L}{L} \approx \dfrac{\Delta(\Delta\varphi)}{\Delta\varphi}$.
5. Comparaison à l’ellipsoïde (exploitation principale) : calculer $L_{\text{réf}} = 111{,}133 - 0{,}560\cos(2\varphi)$ à la latitude moyenne des deux stations, et tester la compatibilité avec la barre d’erreur.
6. Confrontation inter-écoles : sur une Terre aplatie, l’école de haute latitude doit trouver le plus grand $L(1°)$. Comparer la différence mesurée, sa barre d’erreur, et la différence prédite.

8. Exemple chiffré complet

Le mardi 12 mai 2026 ($\delta \approx +18°06′$, $E_t \approx +3{,}7$ min), deux écoles mesurent chacune avec deux stations et $d_{NS} \approx 40$ km.

École A (Stockholm, réseau AEFE, $\lambda = 18{,}1°$E) : midi vrai vers 10 h 44 UTC. Soleil au sud du zénith, ombres vers le nord.

$$\Delta\varphi_A = 41°34′ - 41°12′ = 22′ \pm 3′ = 0{,}367° \qquad d_{NS} = 40{,}4 \times \cos 8° = 40{,}0\ \text{km}$$

$$\boxed{\;L_A = \dfrac{40{,}0 \times 60}{22} = 109{,}1\ \text{km}/° \;\Rightarrow\; L_A = 109 \pm 15\ \text{km}/°\;}$$

Référence ellipsoïde à $\varphi = 59{,}5°$ : $111{,}133 - 0{,}560\cos(119°) = 111{,}40$ km/°. Écart de $2{,}3$ km : compatible.

École B (Libreville, $\lambda = 9{,}5°$E) : midi vrai vers 11 h 18 UTC. En mai, $\delta > \varphi$ : le Soleil passe au nord du zénith, les ombres pointent vers le sud, et c’est la station sud qui a la plus grande $z$.

$$\Delta\varphi_B = 17°43′ - 17°22′ = 21′ \pm 3′ = 0{,}350° \qquad d_{NS} = 40{,}2 \times \cos 5° = 40{,}0\ \text{km}$$

$$\boxed{\;L_B = \dfrac{40{,}0 \times 60}{21} = 114{,}3\ \text{km}/° \;\Rightarrow\; L_B = 114 \pm 16\ \text{km}/°\;}$$

Référence ellipsoïde à $\varphi = 0{,}6°$ : $110{,}57$ km/°. Écart de $3{,}7$ km : compatible.

Confrontation Newton-Cassini. Différence mesurée : $L_A - L_B = -5{,}2 \pm 22$ km. Différence prédite par l’ellipsoïde : $+0{,}83$ km. Notre différence mesurée est même « du côté Cassini »… mais l’effet cherché est 26 fois plus petit que notre barre d’erreur : on ne peut rigoureusement rien conclure sur le sens de la variation. C’est la grande leçon du défi : lire un signe dans du bruit fut précisément l’erreur des Cassini. En revanche, chacune de nos deux mesures est compatible avec l’ellipsoïde à mieux que 4 % : le protocole, lui, fonctionne.

Pour trancher, il faudrait $L$ à $\pm 0{,}4$ km, donc $\Delta\varphi$ à quelques secondes d’arc : c’était le secteur zénithal de Graham (lecture à la seconde) sur des arcs de 1 à 3 degrés, soit 110 à 330 km de triangulation.

Bonus 1 : Estimer l’aplatissement

À partir des longueurs extrêmes du degré : $f \approx \dfrac{L_{\text{pôle}} - L_{\text{équateur}}}{3\,L_{\text{moyen}}} = \dfrac{111{,}69 - 110{,}57}{3 \times 111{,}13} \approx \dfrac{1}{298}$, à comparer à la valeur officielle WGS84 : $f = 1/298{,}257$.

Bonus 2 : La naissance du mètre

Quart de méridien : $90 \times 111{,}133 = 10\,002$ km $\approx 10\,000$ km. Ce n’est pas un hasard : en 1795, le mètre a été défini comme le dix-millionième du quart de méridien terrestre, mesuré par Delambre et Méchain entre Dunkerque et Barcelone. Le petit excédent de 2 km trahit leurs minuscules erreurs… et l’aplatissement mal connu à l’époque.

9. Sources d’erreur et précision

Ordre de grandeur : pour $d = 40$ km, $\Delta\varphi \approx 21′$. Une erreur de $\pm 1′$ sur $\Delta\varphi$ donne $\pm 5\ \%$ sur $L$ (environ $\pm 5$ km) ; $\pm 3′$ donne $\pm 14\ \%$. L’écart pôle-équateur ne vaut que 1 % : viser la minute d’arc est déjà très ambitieux, la seconde d’arc était le métier des académiciens.

10. Fiche élève : tableau de relevés

École : ………… Date(s) : ………… Déclinaison $\delta$ du jour (éphémérides) : ………… Toutes les heures en UTC.

Calculs de l’école :

• $\Delta\varphi = |z_N - z_S|$ = ……′ ± ……′ = ……°
• $d$ (carte/GPS) = …… km ; angle $\theta$ avec le méridien = ……° ; $d_{NS} = d\cos\theta$ = …… km
• $L(1°) = d_{NS}/\Delta\varphi$ = …… ± …… km/°
• Référence ellipsoïde à la latitude moyenne : $L_{\text{réf}} = 111{,}133 - 0{,}560\cos(2\varphi)$ = …… km/°
• Écart $|L - L_{\text{réf}}|$ = …… km : compatible avec la barre d’erreur ? ……

Confrontation entre les deux écoles :

• $L$ (école haute latitude) = …… ± …… km/° ; $L$ (école équatoriale) = …… ± …… km/°
• Différence mesurée = …… ± …… km ; différence prédite = …… km
• Peut-on départager Newton et Cassini ? …… (justifier avec les barres d’erreur)

11. Prolongements pluridisciplinaires

• Maths : trigonométrie, minutes et secondes d’arc, propagation des incertitudes, ajustement parabolique du minimum d’ombre, rayon de courbure d’une ellipse (maths expertes).
• Physique : pourquoi la Terre est aplatie (rotation, équilibre d’un fluide en rotation, Principia de Newton) ; lien direct avec le défi n° 5 (pendule de Richer : la pesanteur varie avec la latitude pour la même raison) ; effet de l’aplatissement sur les orbites des satellites, dont ceux du GPS.
• Géographie et géodésie : ellipsoïde WGS84, latitude astronomique contre latitude géodésique, triangulation, cartes et projections, réseaux géodésiques nationaux.
• Histoire des sciences : une controverse tranchée par l’expédition et non par l’autorité ; Émilie du Châtelet traductrice des Principia ; La Condamine et dix ans d’aventures, jusqu’à la descente de l’Amazone.
• Français, philosophie : le récit de voyage scientifique ; qu’est-ce qui fait preuve, l’argument ou la mesure ?

12. Repères historiques

• 1672 : Jean Richer, à Cayenne, voit son horloge à pendule retarder : premier indice que la pesanteur, donc la forme de la Terre, dépend de la latitude (défi n° 5).
• 1687 : Newton, dans les Principia, prédit par la théorie une Terre aplatie aux pôles ($f \approx 1/230$) sous l’effet de sa rotation.
• 1683-1718 : Jacques puis Jean-Dominique Cassini mesurent la méridienne de France et concluent, à tort, à une Terre allongée aux pôles : la querelle est ouverte. La Terre est-elle une orange (Newton) ou un citron (Cassini) ?
• 1735-1744 : l’Académie royale des sciences envoie Godin, Bouguer et La Condamine mesurer un degré au Pérou (région de Quito, aujourd’hui en Équateur).
• 1736-1737 : Maupertuis, Clairaut et Celsius mesurent un degré en Laponie (vallée du Tornio). Verdict : le degré lapon est plus long que le degré de Paris d’environ 700 m (la valeur moderne de l’écart est plutôt 300 m : leur mesure était entachée d’erreurs, mais le signe était le bon). La Terre est une orange, pas un citron. Voltaire salue en Maupertuis l’homme qui a « aplati la Terre et les Cassini ».
• 1743 : Clairaut publie la Théorie de la figure de la Terre, qui relie aplatissement, rotation et pesanteur.
• 1792-1798 : Delambre et Méchain mesurent la méridienne de Dunkerque à Barcelone ; en 1795, le mètre est défini comme le dix-millionième du quart de méridien.
• Aujourd’hui : l’ellipsoïde WGS84 ($f = 1/298{,}257$) est logé dans chaque récepteur GPS : nos téléphones contiennent la réponse que deux expéditions ont payée de dix ans de leur vie.

Deux expéditions, dix ans de fièvres, de moustiques et de triangulations pour gagner 1 % : en refaisant leur geste avec un mât, une bille et un décamètre, nos élèves apprennent ce que coûte une décimale, et pourquoi la science la paie volontiers.